Membiarkan $f(x)= x^3+ax^2+bx+c \in \mathbb{Q}[x]$. Tunjukkan bahwa bidang pemisah $f$ lebih $\mathbb{Q}$ memiliki derajat 1, 2, 3 atau 6 lebih $\mathbb{Q}$.
PERTANYAAN: Biarkan$f(x)= x^3+ax^2+bx+c \in \mathbb{Q}[x]$. Tunjukkan bahwa bidang pemisah$f$ lebih $\mathbb{Q}$ memiliki derajat 1, 2, 3 atau 6 lebih $\mathbb{Q}$.
Profesor memberi kami petunjuk ini, tetapi saya masih belum mengerti. Saya perlu menyelesaikan ini dengan cara langkah demi langkah. Menggunakan tipnya.
PETUNJUK: Kesulitan terbesar adalah menunjukkan bahwa nilai tersebut tidak boleh lebih dari 6. Kemudian, cukup untuk memilih beberapa nilai$a, b$ dan $c$. Cobalah untuk menemukan di pihak Galois bahwa ekstensi memiliki derajat$\leq n!$. Anda perlu mencari polinomial dengan cara itu yang memiliki bidang pemisah derajat$1, 2, 3$ dan $6$. Dan kemudian tunjukkan bahwa itu tidak bisa lebih besar dari itu. Tidak boleh lebih dari 6 karena ini terjadi dalam kasus terburuk ... Ini memiliki akar nyata yang memiliki derajat$\leq3$ (itu selalu ada karena polinomial memiliki derajat ganjil, menggunakan teorema nilai tengah) dan derajat kompleks (yang juga bisa nyata) $\leq 2$. Kemudian derajat perluasannya$\leq 6$. Kami menggunakan teorema nilai tengah karena polinomial derajat ganjil memiliki akar nyata.
Saya sangat menghargai bantuan Anda jika Anda meluangkan waktu untuk membantu saya.
Jawaban
Kami menggunakan teorema fundamental dari teori Galois, bahwa tingkat perluasan Galois sama dengan urutan kelompok Galois dari perluasan itu. Perhatikan bahwa ekstensi yang diperoleh dengan menambahkan akar polinomial dengan koefisien di lapangan secara otomatis merupakan ekstensi Galois.
Logikanya adalah sejak itu $f(x) \in \mathbb{Q}[x]$ adalah kubik, grup Galois-nya (yaitu grup Galois dari bidang pemisah) akan menjadi subkelompok dari $S_3$ yang memiliki keteraturan $6$.
Lebih eksplisit lagi, biarkan $x_1, x_2, x_3$ menjadi akar (kompleks) dari $f$. Kalau begitu pasti$K=\mathbb{Q}(x_1, x_2, x_3)$adalah bidang pemisah. Kelompok Galois$G$ adalah himpunan automorfisme itu $K$ perbaikan itu $\mathbb{Q}$, dan ditentukan oleh bagaimana mereka bertindak di akarnya. Namun, karena ada perbaikan automorfisme$f$, gambar dari root di bawah automorfisme apa pun masih berupa root, jadi $G$ mengijinkan akar dan karenanya $G$ adalah subgrup dari $S_3$.
Sekarang bagian kedua sebenarnya menemukan polinomial yang memiliki kelompok Galois $1$, $C_2$, $C_3 = A_3$ dan $S_3$.
$1$ cukup mudah: ambil saja hasil kali dari tiga polinomial linier seperti $(x-1)(x-2)(x-3)$.
Untuk $C_2$, Anda memerlukan polinomial kuadrat dengan akar non-rasional, misalnya $(x-1)(x^2+1)$.
Untuk $S_3$, Anda dapat mengulangi gagasan tersebut dalam $C_2$ tetapi kali ini memberikan akar non-rasional ke bagian linier, misalnya $x^3 -2$.
Mendapatkan polinomial dengan $C_3$ mungkin yang paling sulit, tetapi dengan sedikit coba-coba atau beberapa wawasan tambahan tentang objek yang disebut "diskriminan" $x^3 -3x+1$ adalah sebuah contoh.
Membiarkan $L$ menjadi bidang pemisahan $f$ lebih $\mathbb{Q}$. Sejak$\mathbb{Q}$memiliki karakteristik nol, ekstensi dapat dipisahkan, dan merupakan bidang pemisah sehingga normal. Karena itu$L/\mathbb{Q}$ adalah ekstensi Galois.
Kami tahu bahwa kelompok Galois $G = \operatorname{Gal}(L/\mathbb{Q})$ bertindak dengan setia di akar $f$ di $L$. Ada tiga akar seperti itu$\alpha_1,\alpha_2, \alpha_3$ berkata demikian $G$ dapat dilihat sebagai sekelompok permutasi dari $\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\}$, yang menjadikannya subgrup dari grup simetris $S_3$. Sejak$S_3$ memiliki ketertiban $6$, mengikuti urutan $G$ membagi $6$, begitulah $1,2,3$ atau $6$.
Ini adalah hasil standar dari teori Galois bahwa derajat perluasan Galois sama dengan orde gugus Galoisnya, jadi $[L : \mathbb{Q}] = \lvert G \rvert$ adalah $1, 2, 3$ atau $6$.
Terakhir, komentar Piquito menunjukkan bahwa setiap kemungkinan ini benar-benar terjadi.