membiarkan $\mathbf a$ dan $\mathbf b$menjadi vektor 3D. Menemukan sebuah $3\times3$ matriks $\mathbf R$ seperti yang $\mathbf {Ra} = \mathbf a_{\bot \mathbf b}$.

Question

Hai, seperti judulnya mengatakan saya mencoba menemukan ini.

membiarkan $\mathbf a$ dan $\mathbf b$menjadi vektor 3D. Menemukan sebuah$3\times3$ matriks $\mathbf R$ seperti yang $\mathbf {Ra} = \mathbf a_{\bot \mathbf b}$.

menurut latihan saya jawabannya adalah

$$ R = \frac{1}{b^2} \begin{bmatrix} b^2_y+b^2_z & -b_xb_y & -b_xb_z \\ -b_xb_y & b^2_x+b^2_z & -b_yb_z \\ -b_xb_z & -b_yb_z & b^2_x+b^2_y \\ \end{bmatrix} $$

Saya belum bisa mendapatkan solusi ini dan saya sudah berhasil sejauh ini

$$ a_{\bot b} = a - a_{||b} = a - \frac{a\cdot b}{b^2}b $$ dan saya bisa menggantinya $ a_{||b} $ untuk ekspresinya sebagai produk matriks $$ a_{||b} = \frac{1}{b^2}bb^{\mathrm T}a $$ dan ini adalah produk luar jadi jadinya $$a_{\bot b} = \frac{1}{b^2}\begin{bmatrix} b^2_x & b_xb_y & b_xb_z \\ b_xb_y & b^2_y & b_yb_z \\ b_xb_z & b_yb_z & b^2_z+b^2_y \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_x \\ a_y \\ a_z \\ \end{bmatrix}$$

dari ini saya bisa mendapatkan $$ Ra = a - \frac{1}{b^2}\begin{bmatrix} b^2_x & b_xb_y & b_xb_z \\ b_xb_y & b^2_y & b_yb_z \\ b_xb_z & b_yb_z & b^2_z+b^2_y \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_x \\ a_y \\ a_z \\ \end{bmatrix} $$ Ini sejauh yang saya bisa dapatkan dan saya tidak yakin langkah-langkah yang diperlukan untuk mendapatkan persamaan terakhir ke yang pertama.

Terima kasih atas wawasan yang dapat diberikan siapa pun.

Answer 1

Beberapa langkah terakhir adalah $$ \begin{align*} Ra &= a - \frac{1}{b^2}\begin{bmatrix}b_x^2 & b_xb_y & b_xb_z\\ b_xb_y & b_y^2 & b_yb_z\\ b_xb_z & b_yb_z & b_z^2\end{bmatrix}a\\ &= \frac{1}{b^2}\Bigg(b^2I - \begin{bmatrix}b_x^2 & b_xb_y & b_xb_z\\ b_xb_y & b_y^2 & b_yb_z\\ b_xb_z & b_yb_z & b_z^2\end{bmatrix}\Bigg)a \\ \end{align*}$$ Perhatikan itu $b^2 = b_x^2 + b_y^2 + b_z^2$. Begitu$$\begin{align*} Ra &= \frac{1}{b^2}\Bigg(\begin{bmatrix}b_x^2 + b_y^2 + b_z^2& 0 & 0\\ 0 & b_x^2 + b_y^2 + b_z^2 & 0\\ 0 & 0 & b_x^2 + b_y^2 + b_z^2\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}b_x^2 & b_xb_y & b_xb_z\\ b_xb_y & b_y^2 & b_yb_z\\ b_xb_z & b_yb_z & b_z^2\end{bmatrix}\Bigg)a \\ &= \frac{1}{b^2}\begin{bmatrix}b_y^2 + b_z^2 & -b_xb_y & -b_xb_z\\ -b_xb_y & b_x^2 + b_z^2 & -b_yb_z\\ -b_xb_z & -b_yb_z & b_x^2 + b_y^2\end{bmatrix}a\end{align*} $$ Karenanya $$ R = \frac{1}{b^2}\begin{bmatrix}b_y^2 + b_z^2 & -b_xb_y & -b_xb_z\\ -b_xb_y & b_x^2 + b_z^2 & -b_yb_z\\ -b_xb_z & -b_yb_z & b_x^2 + b_y^2\end{bmatrix}$$