Membiarkan $x_0$menjadi angka transendental, $x_{n+1}=\frac{3-x_n}{x_n^2+3x_n-2}$. Berapa batas $x_n$?

Question

Membiarkan$x_0$menjadi angka transendental,$$x_{n+1}=\frac{3-x_n}{x_{n}^{2}+3x_{n}-2}$$Berapa batas$x_{n}$?

Memilih$x_0=\pi$, dan tampaknya batas$x_n$adalah$-1$. Tapi apa buktinya$\pi$dan nomor lainnya? Membiarkan$$f(x)=\frac{3-x}{x^{2}+3x-2}$$Berikut ini mungkin bisa membantu.$$f'(x)=\frac{(x-7)(x+1)}{(x^{2}+3x-2)^2}$$ $$f(x)-x=\frac{-(x-1)(x+1)(x+3)}{x^{2}+3x-2}$$ $$f(x)+1=\frac{(x+1)^{2}}{x^{2}+3x-2}$$.

Answer 1

Membiarkan$f(x) = \frac{3-x}{x^2+3x-2}$. Jika$\lim x_n$ada, maka$L = \lim x_{n+1}=\lim x_n$, jadi atur$$L=f(L)$$

Ada tiga solusi untuk ini:$L = -3, -1, 1$. Untuk menemukan yang benar, perhatikan bahwa untuk lingkungan kecil di sekitar$-3$, kamu punya$|f(x)+3|>|x+3|$, dan sekitar$1$, kamu punya$|f(x)-1|>|x-1|$. Untuk keduanya$-3$dan$1$, perbedaan akan dibuat lebih besar. Sekitar$-1$di sisi lain, Anda memiliki$|f(x)+1|<|x+1|$, jadi perbedaannya menjadi lebih kecil (ini bukan bukti yang ketat tetapi lebih merupakan bukti intuitif).

Jadi, untuk "sebagian besar"$x_0$, itu akan konvergen ke$-1$. Satu-satunya cara itu akan menyatu menjadi$-3$atau$1$adalah jika konvergen tepat dalam jumlah iterasi yang terbatas. Tetapi agar itu benar, itu harus menjadi solusi untuk$$f^n(x_0) = -3$$(atau$1$) untuk beberapa$n$, artinya harus aljabar. Oleh karena itu, untuk semua transendental, batasnya adalah$-1$.