Membuktikan bahwa fungsi pemenggalan dapat diintegrasikan dengan Darboux $[0,2]$ pendampingan

Aug 16 2020

Membiarkan $f:[0,2] \rightarrow \mathbb{R}$ diberikan oleh

$$f(x) = \left\{ \begin{array}\ 10,\quad \ 0\leq x < 1, \\ 100,\quad \ x = 1, \\ -5,\quad \ 1 < x \leq 2. \\ \end{array} \right. $$

Buktikan itu $f$ adalah Darboux yang dapat diintegrasikan dan dihitung $\int_{0}^{2}f$.

Mencoba

Bahwa fungsinya adalah alat integral Darboux untuk semua $\epsilon > 0$, ada partisi $P$ dari $[0,2]$ seperti yang $U(f,P) - L(f,P) < \epsilon$.

Seharusnya $P = \{t_{0}, \dots, t_{n}\}$ adalah partisi dari $[0,2]$ dengan $t_{j-1} < 1 < t_{j}$.

Untuk, $t_{0} < \dots < t_{j-1}$: $m_{i} = M_{i} = 10$

Juga untuk $t_{j} < \dots < t_{n}$: $m_{i} = M_{i} = -5$

Sekarang saya mengalami masalah dalam mengelola $x = 1$di situlah diskontinuitas dan jelas tantangan masalahnya. Awalnya saya akan mengatakan itu$m_{i} = M_{i} = 100$ di interval mana pun angka 1 berada dan itu akan memberi saya:

$$L(f,P) = \sum_{i = 1}^{n}m_{i}(t_{i} - t_{i - 1}) = \sum_{i = 1}^{j-1}10(t_{i} - t_{i-1}) + 100(t_{j} - t_{j-1}) + \sum_{j+1}^{n}-5(t_{i} - t_{i-1})$$

dan

$$U(f,P) = \sum_{i = 1}^{n}M_{i}(t_{i} - t_{i - 1}) = \sum_{i = 1}^{j-1}10(t_{i} - t_{i-1}) + 100(t_{j} - t_{j-1}) + \sum_{j+1}^{n}-5(t_{i} - t_{i-1})$$

Kemudian mengurangkan ini saya akan dapatkan $U(f,P) - L(f,P) = 0 < \epsilon$.

Tetapi saya merasa ini bukan jawaban yang tepat dan saya perlu mengungkapkan partisi tersebut sedikit lebih eksplisit. Juga terserah$U(f,P) - L(f,P)$adalah, pada akhirnya akan menyatu dengan apa yang tidak terpisahkan. Dan ketika menghitung integral (sebagai pemeriksaan menggunakan teknik kalkulasi sebelumnya) saya dapatkan$5$yang bukan merupakan nilai selisih jumlah atas dan bawah. Dimana saya salah?

Jawaban

1 enzotib Aug 16 2020 at 19:44

Tetap $\varepsilon$ dan diambil $\delta$ cukup kecil, Anda bisa mengambil $$ t_{j-1}=1-\delta,\qquad t_j=1+\delta, $$
maka \begin{align} L(f,P) &= \sum_{i = 1}^{n}m_{i}(t_{i} - t_{i - 1}) = \sum_{i = 1}^{j-1}10(t_{i} - t_{i-1}) + \mathbf{(-5)}(t_{j} - t_{j-1}) + \sum_{j+1}^{n}(-5)(t_{i} - t_{i-1})=\\ &=10(1-\delta)-5\cdot2\delta-5(1-\delta)=5-15\delta\\ U(f,P) &= \sum_{i = 1}^{n}M_{i}(t_{i} - t_{i - 1}) = \sum_{i = 1}^{j-1}10(t_{i} - t_{i-1}) + 100(t_{j} - t_{j-1}) + \sum_{j+1}^{n}(-5)(t_{i} - t_{i-1})=\\ &=10(1-\delta)+100\cdot2\delta-5(1-\delta)=5+195\delta \end{align} sehingga memiliki $$ U(f,P)-L(f,P)=210\delta<\varepsilon $$ kau harus memilih $$ \delta<\frac{\varepsilon}{180}. $$