Membuktikan $\Bbb Z_n$adalah grup di bawah penambahan modulo: bagian asosiatif. [duplikat]

Question

Kenapa $\Bbb Z_n =\{0,1,2,3,4,...,n-1\}$ kelompok di bawah penambahan modulo?

Hanya diperlukan bagian asosiatif. Artinya, saya terjebak untuk membuktikan itu$a,b,c \in \Bbb Z_n$, kita punya: $$(a + b \pmod{ n} + c) \pmod {n} = a + (b + c \pmod{n}) \pmod n.$$

Atau mungkin dinyatakan lebih jelas. Dengan$+_n$ menunjukkan "$+ \pmod{n}$": $(a +_n b) +_n c = a +_n ( b +_n c)$.

-Terima kasih

Answer 1

Elemen dari $\Bbb Z_n$adalah kelas kesetaraan dari bilangan bulat, seperti:

$$[a]_n:=\{b\in\Bbb Z:n\mid a-b\},$$

dimana $a\in \Bbb Z.$

Penambahan didefinisikan sebagai berikut:

$$[a]_n+_n[b]_n:=[a+b]_n.$$

Sekarang asosiatif yang Anda butuhkan mengikuti dari asosiatif penjumlahan: untuk apa saja $[a]_n,[b]_n,[c]_n\in\Bbb Z_n$, kita punya

$$\begin{align} [a]_n+_n([b]_n+_n[c]_n)&=[a]_n+_n[b+c]_n\\ &=[a+(b+c)]_n\\ &=[(a+b)+c]_n\\ &=[a+b]_n+_n[c]_n\\ &=([a]_n+_n[b]_n)+_n[c]_n. \end{align}$$