Membuktikan $\epsilon - \delta$ gaya itu $\lim\limits_{x \rightarrow 2}x^2 \neq 6$ melalui kontradiksi

Question

Pertanyaan: Buktikan$\epsilon - \delta$ gaya itu $\lim\limits_{x \rightarrow 2}x^2 \neq 6$ melalui kontradiksi

Jadi ide awal saya adalah berasumsi $\lim\limits_{x \rightarrow 2} x^2 = 6$. Kemudian untuk semua$\epsilon > 0$ $\exists$ $\delta > 0$ seperti yang $|x^2-6| < \epsilon \rightarrow0 < |x-2| < \delta$

Namun, saya tidak yakin bagaimana menunjukkan kontradiksi tanpa "memasukkannya" .... dapatkah seseorang menunjukkan kepada saya?

Answer 1

Membiarkan $\varepsilon = 0.25 > 0 $

Kami memiliki itu untuk semua $\delta > 0$, jika kita ambil $\alpha = \text{min}\{0.1,\frac{\delta}{2} \}$, lalu kita punya itu $2\alpha + \alpha^{2} \leq 0.2 + 0.01 = 0.21$

Jika kita ambil $x = 2 + \alpha$, kami punya itu $|2+ \alpha - 2| = \alpha < \delta$, tapi $|(2+ \alpha)^{2} - 6| = 6 - 4 - 2\alpha - \alpha^{2} \geq 2 - 0.21 > 1 > \varepsilon$. Kemudian adalah kontradiksi dari definisi batas