Membuktikan jika $b^k = a$ dan $\text{ord}(a) = n$ kemudian $\text{ord}(b) = kn$.

Question

Membiarkan $(G,e)$ menjadi grup dan $a \in G$ memiliki urutan yang terbatas

$\quad \text{ord}(a) = n$

dan biarkan $\langle a \rangle$ menunjukkan grup siklik yang dihasilkan oleh $a$.

Misalkan $b \in G$ dan $k \ge 2$

$\quad b,\dots, b^{k-1} \notin \langle a \rangle$ dan $b^k = a$

Kemudian urutan $b$ adalah $kn$.

Bukti

Urutan $b$ harus kelipatan $n$ sejak $\langle a \rangle \subset \langle b \rangle$.

Urutan $b$ harus membagi $kn$ sejak $b^{kn} = e$.

Yang tersisa hanyalah mengidentifikasi $kn$ elemen yang berbeda di $\langle b \rangle$.

Pertimbangkan pemetaannya

$\quad (u,v) \mapsto a^u b^v \quad \text{where } 0 \le u \lt n \land 0 \le v \lt k$

Pekerjaan kami akan selesai jika kami dapat menunjukkan bahwa pemetaan ini bersifat injeksi. Ini dilakukan dengan menggunakan fakta bahwa$b^v$ tidak pernah bisa menjadi invers non-sepele untuk elemen apa pun di $\langle a \rangle$.

Seharusnya $a^u b^v = a^s b^t$ dan $u = s$. Kemudian$v$ harus sama dengan $t$.

Jadi asumsikan, tanpa kehilangan keumuman, itu $u \gt s$. Lalu kita bisa menulis

$\quad a^w b^v = b^t$

dengan $0 \lt w \lt n$.

Jika $v = t$ kami memiliki kontradiksi sejak itu $a$ memiliki ketertiban $n$.
Jika$v \gt t$kami memiliki kontradiksi karena kami tidak dapat membangun invers non-trivial.
Jika$v \lt t$ kami memiliki kontradiksi sejak itu $b^{t-u} \notin \langle a \rangle$.

Ini melengkapi buktinya.

Apakah ini bukti yang sah?

Sepertinya baik-baik saja bagi saya tetapi alasan untuk memposting pertanyaan ini adalah saya tidak dapat menemukan ini di internet tentang fakta matematika . Saya tidak dapat menemukan (fakta?) Ini sebagai pertanyaan duplikat di situs ini atau di mana pun.

Jadi setiap tautan ke literatur yang menggunakan ini akan menarik.

Answer 1

Bukti Anda benar. Bukti yang jauh lebih pendek mengikuti.

Untuk $1\le x<kn$, $b^x\ne e$ sejak $$b^x=(b^k)^{\lfloor x/k\rfloor}b^{x\bmod k}=a^{\lfloor x/k\rfloor}b^{x\bmod k}$$ Antara $x\bmod k>0$ dan $b^x\not\in\langle a\rangle$ karena faktor pertama masuk $\langle a\rangle$ dan yang kedua tidak, atau $x\bmod k=0$ tapi $\lfloor x/k\rfloor\in[1,n)$ dan $b^x=a^{\lfloor x/k\rfloor}\ne e$.

Namun mudah untuk menunjukkannya $b^{kn}=e$. Oleh karena itu urutan$b$ adalah $kn$.