Membuktikan Teorema Tonelli untuk $n$ Faktor
Saya mencoba untuk membuktikan perluasan teorema Tonelli berikut ini:
Dalil. Membiarkan$(\Omega_j,\mathcal{A}_j,\mu_j)$ $j=1,\dots,n$ menjadi $\sigma$-Ruang ukuran tak terbatas. Membiarkan$f\to[0,\infty]$ kacang $\mathcal{A}_1\otimes \dots\otimes\mathcal{A}_n$ fungsi terukur pada $\Omega_1\times\dots\times\Omega_n$. Kemudian untuk setiap permutasi$j_1,\dots,j_n$ dari $1,\dots,n$ kita punya
$$\int f(\omega_1,\dots,\omega_n) \,d (\mu_1 \otimes \dots \otimes \mu_n)=\int \dots \int f(\omega_1,\dots,\omega_n)\,d\mu_{j_1}\dots d\mu_{j_n}$$
dimana setiap integral pada RHS dapat diukur sehubungan dengan produk dari $\mathcal{A}_j$sesuai dengan koordinat di mana integrasi belum terjadi. Buku saya mengatakan itu adalah induksi sederhana tetapi entah bagaimana bukti saya tampak rumit.
Saya percaya itu cukup untuk mempertimbangkan kasus permutasi identitas. Ini karena kami memiliki persamaan
$$\int f(\omega_1,\dots,\omega_n) \,d (\mu_1 \otimes \dots \otimes \mu_n)=\int f(\omega_{1},\dots,\omega_{n}) \,d (\mu_{j_1} \otimes \dots \otimes \mu_{j_n})$$
lihat disini . Dengan kata lain, tidak masalah apakah kita menganggapnya$f$ sebagai fungsi pada $\Omega_1\times\dots\times\Omega_n$ atau di $\Omega_{j_1}\times\dots\times\Omega_{j_n}$.
Apakah ini benar? Komentar tersebut tampaknya menunjukkan bahwa ada beberapa kemungkinan pendekatan di sini. Garis besar bukti apa pun sangat dihargai.
Jawaban
Mari kita tuliskan pernyataan teorema Tonelli, hanya untuk memperjelas semuanya.
Membiarkan $(X, \mathcal M, \mu)$ dan $(Y, \mathcal N, \nu)$ menjadi $\sigma$-Ruang ukur terbatas dan $f: X \times Y \to [0,\infty]$ menjadi $\mathcal M \otimes \mathcal N$terukur. Kemudian:$$\int f d(\mu \times \nu) = \int \left(\int f(x_1, x_2) d\nu(x_2)\right) d\mu(x_1) = \int \left(\int f(x_1, x_2) d\mu(x_1)\right) d\nu(x_2).$$
Baiklah sekarang kami bisa tuliskan bukti pernyataan anda. Membiarkan$(X_j, \mathcal M_j, \mu_j)$ menjadi koleksi terbatas $\sigma$-Ruang ukur terbatas dan biarkan $f : \prod_{j=1}^n X_j \to [0,\infty]$ menjadi $\bigotimes_{j=1}^n \mathcal M_j$ terukur.
Catat itu $\bigotimes_{j=1}^n \mathcal{M}_j = \mathcal M_1 \otimes \bigotimes_{j=2}^n \mathcal M_j$, itu $\mu_1 \times \mu_2 \times \cdots \times \mu_n = \mu_1 \times (\mu_2 \times \cdots \times \mu_n)$, dan itu $(\prod_{j=2}^n X_j, \bigotimes_{j=2}^n \mathcal M_j, \mu_2 \times \cdots \mu_n)$ aku s $\sigma$-finite (ini langsung dari pembuktian produk $\sigma$-Ruang ukuran terbatas $\sigma$-finite dan induksi).
Jadi penerapan berulang dari aplikasi pertama teorema Tonelli di atas (yaitu induksi) memberikan bahwa: $$\int f d(\mu_1 \times \cdots \times \mu_n) = \int \left(\cdots \left(\int f(x_1,...,x_n) d\mu_1(x_1)\right) \cdots \right) d\mu_n(x_n).$$
Sekarang kami menunjukkan secara induktif bahwa, di bawah asumsi proposisi kami, bahwa: $$\int \left(\cdots \left(\int f(x_1,...,x_n) d\mu_1(x_1)\right) \cdots \right) d\mu_n(x_n) = \int \left(\cdots \left(\int f(x_1,...,x_n) d\mu_{\sigma(1)}(x_{\sigma(1)})\right) \cdots \right) d\mu_{\sigma(n)}(x_{\sigma(n)})$$ untuk permutasi apa pun $\sigma \in S_n$.
Ini jelas benar untuk $n=1$.
Misalkan telah ditunjukkan untuk $n$, lalu pilih $\sigma \in S_{n+1}$. Kemudian tentukan$\tau \in S_n$ secara induktif oleh $\tau(1) = \sigma(1)$ jika $\sigma(1) \ne n+1$ lain $\sigma(2)$ dan $\tau(j+1) = \sigma(\sigma^{-1}(\tau(j))+1)$ jika $\sigma(\sigma^{-1}(\tau(j))+1) \ne n+1$ lain $= \sigma(\sigma^{-1}(\tau(j))+2)$.
Hasilnya adalah itu $\tau$ mengatur $1,...,n$ dalam urutan yang sama seperti $\sigma$. Kemudian menerapkan hipotesis induktif dengan$\tau$ ke integral interior untuk masing-masing $x_{n+1}$: $$\int \left (\int \left(\cdots \left(\int f(x_1,...,x_n) d\mu_1(x_1)\right) \cdots \right) d\mu_n(x_n) \right) d\mu_{n+1}(x_{n+1}) = \int \left(\int \left(\cdots \left(\int f(x_1,...,x_n) d\mu_{\tau(1)}(x_{\tau(1)})\right) \cdots \right) d\mu_{\tau(n)}(x_{\tau(n)})\right) d\mu_{n+1}(x_{n+1}).$$ Kemudian sejak $\tau$ taruh $1,...,n$ ke urutan yang sama seperti $\sigma$, semua yang tersisa untuk didapatkan $1,...,n+1$ ke dalam urutan yang disebabkan oleh $\sigma$ adalah memasukkan $d\mu_{n+1}(x_{n+1})$ di tempat yang tepat, yang cukup untuk menunjukkan bahwa dua yang berdekatan $d\mu_i(x_i)$ dan $d\mu_j(x_j)$ dapat diperlaju (lalu berulang kali bepergian $d\mu_{n+1}(x_{n+1})$ kiri sampai di tempat yang benar menyelesaikan pembuktian).
Ini yang akan kita lakukan sekarang. Klaim:$$\int \left(\cdots \left(\int f(x_1,...,x_n) d\mu_a(x_1)\right) \cdots \bigg) d\mu_i \bigg) d\mu_j \cdots \right) d\mu_b(x_n) = \int \left(\cdots \left(\int f(x_1,...,x_n) d\mu_a(x_1)\right) \cdots \bigg) d\mu_j \bigg) d\mu_i \cdots \right) d\mu_b(x_n).$$
Tetapi ini hanyalah penerapan langsung dari teorema Tonelli, karena sudah cukup untuk menunjukkan bahwa: $$\int \left(\cdots \left(\int f(x_1,...,x_n) d\mu_a(x_1)\right) \cdots \bigg) d\mu_i \right) d\mu_j = \int \left(\cdots \left(\int f(x_1,...,x_n) d\mu_a(x_1)\right) \cdots \bigg) d\mu_j \right) d\mu_i,$$ dan kita mempunyai: $$\int \left(\cdots \left(\int f(x_1,...,x_n) d\mu_a(x_1)\right) \cdots \bigg) d\mu_i \right) d\mu_j = \int \left(\cdots \left(\int f(x_1,...,x_n) d\mu_a(x_1)\right) \cdots \right) d\mu_j \times \mu_i = \int \left(\cdots \left(\int f(x_1,...,x_n) d\mu_a(x_1)\right) \cdots \bigg) d\mu_j \right) d\mu_i.$$
Menyatukannya melengkapi bukti.
Catatan: Atau, bukan semua itu $\tau$ barang, kita dapat menggunakan klaim terakhir untuk menunjukkan bahwa set permutasi ukuran adalah subkelompok yang berisi permutasi berurutan: $(i, i+1)$ dan kemudian buktikan itu $(i, i+1)$ menghasilkan $S_n$, yang efektif seperti yang saya lakukan di "$\tau$-section ", meskipun mungkin agak membingungkan.