Membuktikan $(V_1 \cap V_2)^{\perp_L} = V_1^{\perp_L} + V_2^{\perp_L}$ jika $f$ tidak merosot
Membiarkan $f(\alpha, \beta)$ menjadi bentuk bilinear di $n$ruang linier -dimensi $V$ di atas bidang angka $F$. Buktikan, jika$f(\alpha, \beta)$ tidak merosot, untuk setiap subruang $V_1$ dan $V_2$ dari $V$, kemudian \begin{align*} & (V_1 \cap V_2)^{\perp_L} = V_1^{\perp_L} + V_2^{\perp_L}, \\ & (V_1 \cap V_2)^{\perp_R} = V_1^{\perp_R} + V_2^{\perp_R}. \end{align*} dimana untuk subruang apapun $W$ dari $V$, kelompok ortogonal kiri $W^{\perp_L}$dan kelompok ortogonal kanan $W^{\perp_R}$ ditentukan oleh \begin{align*} & W^{\perp_L} = \{\alpha \in V: f(\alpha, \beta) = 0, \forall \beta \in W\}, \\ & W^{\perp_R} = \{\beta \in V: f(\alpha, \beta) = 0, \forall \alpha \in W\}. \end{align*}
Menurut definisi, saya dapat menunjukkan (ke arah ini, non-degenerasi $f$ tidak diperlukan) itu $V_1^{\perp_L} + V_2^{\perp_L} \subseteq (V_1 \cap V_2)^{\perp_L}$. Saya tidak memiliki banyak pemikiran tentang arah lain, khususnya, bagaimana non-degenerasi$f$ harus diterapkan?
Jawaban
$\newcommand{\lbot}{\perp_L}$ $\newcommand{\rbot}{\perp_R}$
Kami pertama kali membuktikan dengan definisi itu \begin{align*} & (V_1 + V_2)^{\lbot} = V_1^{\lbot} \cap V_2^{\lbot}; \tag{1} \\ & (V_1 + V_2)^{\rbot} = V_1^{\rbot} \cap V_2^{\rbot}. \tag{2} \end{align*} Membiarkan $\alpha \in (V_1 + V_2)^{\lbot}$, lalu untuk apa saja $\beta_1 \in V_1, \beta_2 \in V_2$, kita punya \begin{align*} & f(\alpha, \beta_1 + \beta_2) = f(\alpha, \beta_1) + f(\alpha, \beta_2) = 0, \\ & f(\alpha, \beta_1 - \beta_2) = f(\alpha, \beta_1) - f(\alpha, \beta_2) = 0. \end{align*}
Karenanya $f(\alpha, \beta_1) = f(\alpha, \beta_2) = 0$, yaitu, $\alpha \in V_1^{\lbot} \cap V_2^{\lbot}$. Sebaliknya jika$\alpha \in V_1^{\lbot} \cap V_2^{\lbot}$, lalu untuk apa saja $\beta = \beta_1 + \beta_2 \in V_1 + V_2$, dimana $\beta_1 \in V_1, \beta_2 \in V_2$, kita punya $$f(\alpha, \beta_1 + \beta_2) = f(\alpha, \beta_1) + f(\alpha, \beta_2) = 0 + 0 = 0,$$ yaitu, $\alpha \in (V_1 + V_2)^{\lbot}$. Persamaan kedua bisa dibuktikan serupa.
Jika $f(\alpha, \beta)$ adalah non-degenerate, kami tunjukkan itu untuk setiap subruang $W$ dari $V$, $W = (W^{\lbot})^{\rbot}$. Menurut definisi,$W \subset (W^{\lbot})^{\rbot}$. Untuk menunjukkan arah lain dapat ditunjukkan dengan$f$ adalah non-degenerate untuk setiap subruang $W$, $$\dim(W^{\lbot}) = \dim(W^{\rbot}) = \dim(V) - \dim(W).$$
Kemudian mengikuti itu \begin{align*} \dim((W^{\lbot})^{\rbot}) = \dim(V) - \dim(W^{\lbot}) = \dim(V) - (\dim(V) - \dim(W)) = \dim(W). \tag{*} \end{align*} Kesetaraan ini dan $W \subset (W^{\lbot})^{\rbot}$ menyiratkan itu $W = (W^{\lbot})^{\rbot}$. Demikian pula,$W = (W^{\rbot})^{\lbot}$.
Sekarang oleh $(1)$ dan $(2)$, kita punya \begin{align*} (V_1 \cap V_2)^{\lbot} = ((V_1^{\lbot})^{\rbot} \cap (V_2^{\lbot})^{\rbot})^{\lbot} = ((V_1^{\lbot} + V_2^{\lbot})^{\rbot})^{\lbot} = V_1^{\lbot} + V_2^{\lbot}. \end{align*} Ini melengkapi buktinya.
(Kesetaraan $(*)$ dapat dibuat dengan membuat peta antara $W^{\lbot}$ ke ruang solusi yang pertama $\dim(W)$ kolom dari matriks $(f(\alpha_i, \alpha_j))$.)