Membuktikan ' $X$ adalah paracompact Hausdorff iff $X\times Y$ adalah $T_4$ untuk semua Hausdorff yang kompak $Y$'tanpa teorema Tamano mungkin?

Question

$X$ adalah paracompact Hausdorff iff $X\times Y$ adalah $T_4$ untuk semua Hausdorff yang kompak $Y$

Untuk teorema ini implikasi ke depan memiliki pembuktian yang baku, sedangkan implikasi sebaliknya umumnya dibuktikan dengan menggunakan teorema Tamano yang menggunakan pemadatan.

Namun, saya tidak tahu banyak tentang pemadatan. Jadi, saya lebih suka jika ada bukti untuk implikasi sebaliknya tidak menggunakannya. Saya sudah mencoba mencari online, tetapi tidak berhasil. Jadi, apakah ada buktinya? Bantuan apa pun akan dihargai!

Answer 1

Lemma 2.5 (dan hasil sekitarnya) melakukan sebagian besar pekerjaan dalam makalah klasik ini oleh Morita yang membuktikan ini pertama kali. Itu menggunakan ruang uji kompak ordinal$W(\omega_\alpha + 1)$dan tidak menggunakan pemadatan pada sekilas bukti. Ini adalah generalisasi (dalam arti tertentu) dari hasil Janda pada ruang paracompact yang tak terhitung jumlahnya.

Jika kondisi sisi kanan terpenuhi, untuk setiap kardinal $\mathfrak{m}$, $X \times [0,1]^{\mathfrak{m}}$ adalah $T_4$ yang menyiratkan itu $X$ adalah $\mathfrak{m}$-paracompact untuk semua kardinal (ini ada di koran) (dan sudah Hausdorff sepele). Begitu$X$ adalah paracompact Hausdorff.

Makalah ikhtisar dari tahun 2002 oleh Noble ini mungkin juga menarik bagi Anda, karena berkaitan dengan pertanyaan serupa. Itu juga memperlakukan teorema Noble bahwa jika$X$ adalah $T_1$ dan $X^\kappa$ adalah normal untuk semua $\kappa$, kemudian $X$ kompak.