Memecahkan $x^3-3x^2+4x-12=0$ Tanpa Anjak (Metode Cardano)
Pertanyaannya: selesaikan $$x^3-3x^2+4x-12=0$$ tanpa menggunakan anjak (metode Cardano?)
Jadi saya pertama-tama harus menekan persamaan jadi saya membuat substitusi $x=z+1$. Kami tahu ini adalah pergantian karena seharusnya bentuknya$z-\frac{a_2}{3a_3}=z-\frac{-3}{3(1)}=z+1$. Ini kemudian memberi kita
$$z^3+z-10=0$$
Dengan metode Cardano, kita tahu itu $p=1$ dan $q=-10$. Jadi kita punya itu
$$1=-3ab \qquad -10=-a^3-b^3$$
Memecahkan sistem ini memberi (saya percaya) untuk $a$ memberi
$$a=\sqrt[3]{5\pm\frac{26\sqrt{3}}{9}}$$
$$b=\sqrt[3]{5\mp\frac{26\sqrt{3}}{9}}$$
sehingga
$$z=a+b=\sqrt[3]{5\pm\frac{26\sqrt{3}}{9}}+\sqrt[3]{5\mp\frac{26\sqrt{3}}{9}}$$
Saya telah mencoba mengurangi ini sebaik mungkin, tetapi saya tidak bisa mendapatkan solusi siapa pun.
Jika saya memfaktorkan persamaan asli, saya harus getg
$$x^3-3x^2+4x-12=x^2(x-3)+4(x-3)=(x^2+4)(x-3) \Rightarrow x=3, \pm2i$$
Jadi di mana saya membuat kesalahan saya?
Jawaban
Perhitungan Anda benar, tetapi itu perlu untuk menyelesaikan metode Cardano. Setelah Anda menghitung$a$ dan $b$, akar dari kubik yang tertekan adalah sebagai berikut:
$$ \displaystyle z_{1}=a+b \\ {\displaystyle z_{2}=a\cdot \left(-{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)+b\cdot \left(-{\frac {1}{2}}-i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)} \\ {\displaystyle z_{3}=a\cdot \left(-{\frac {1}{2}}-i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)+b\cdot \left(-{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)} $$
Sejak dalam kasus Anda $a=1+2/\sqrt{3}$ dan $b=1-2/\sqrt{3}$ (lihat di bawah untuk prosedur denesting untuk mendapatkan nilai ini), rumus yang diberikan
$$z_1=2 \\ z_2=-1+2 i \\ z_3=-1-2 i$$
Sebagai $x=z+1$, kamu punya
$$x_1=3 \\ x_2=2 i \\ x_3=-2 i$$
EDIT: seperti yang dinyatakan dengan benar di komentar, masalah utama dalam menerapkan metode Cardano adalah, dalam beberapa kasus, ada kebutuhan untuk menyangkal beberapa akar kubik. Ini terkadang cukup sulit. Beberapa metode telah dilaporkan sebelumnya di tautan yang disediakan di salah satu komentar. Saya akan menyarankan pendekatan yang mungkin yang terkadang bekerja dengan baik untuk radian dari bentuk$J+K\sqrt{n}$. Metode tersebut mencakup langkah-langkah berikut:
atur akar pangkat tiga di formulir $\sqrt[3]{J\pm K\sqrt{n}}$, dengan $J$ dan $K$ bilangan bulat;
asumsikan bahwa radian $A=J\pm K\sqrt{n}$ dapat dinyatakan sebagai $(j\pm k\sqrt{n})^3$, dengan $j$ dan $k$ angka rasional;
setelah berkembang $(j\pm k\sqrt{n})^3$ dan membagi suku-suku dalam dua kelompok yang jumlahnya sama dengan $J$ dan $K\sqrt{n}$, gunakan persamaan yang dihasilkan untuk menentukan $j/k$. Ini adalah langkah yang lebih panjang, karena memerlukan pencarian akar rasional dari persamaan kubik baru menggunakan teorema akar rasional, yang kadang-kadang mungkin rumit;
akhirnya, tentukan nilai $j$ dan $k$.
Untuk mengilustrasikan metode ini dengan lebih baik, mari kita coba untuk kasus tertentu $\sqrt[3]{5+ \frac{26\sqrt{3}}{9}}$ (metode yang sama dapat digunakan untuk kasus di mana radian berada $5-\frac{26\sqrt{3}}{9}$). Pertama, kita harus mengatur nilai radicand sehingga$J$ dan $K$ adalah bilangan bulat:
$$\sqrt[3]{5 + \frac{26\sqrt{3}}{9}}=\frac{1}{3} \sqrt[3]{135+ 78\sqrt{3}} = \frac{1}{3} \sqrt[3]{A} $$
Sekarang mari kita berhipotesis $A=(j+k\sqrt{3})^3$. Karena itu
$$A= j^3+3\sqrt{3}j^2k+ 9jk^2+3\sqrt{3}k^3\\ =j(j^2+9k^2)+3k(j^2+k^2)\sqrt{3}$$
agar kita bisa menulis
$$j(j^2+9k^2)=135\\ 3k(j^2+k^2)=78$$
Catat itu $j$ dan $k$harus keduanya positif. Dari dua persamaan di atas kita punya
$$78\cdot j(j^2+9k^2) =135\cdot 3k(j^2+k^2)$$
Kami sekarang harus mencoba untuk menentukan $j/k$. Membagi kedua anggota menjadi$k^3$ dan memindahkan semua istilah ke kiri, kami punya
$$78\left(\frac{j}{k}\right)^3 - 405 \left(\frac{j}{k}\right)^2 + 702\left(\frac{j}{k}\right) - 405=0 $$
Pengaturan $x=j/k$ dan menyederhanakan koefisien, kita dapatkan
$$26 x^3-135 x^2+234x-135=0$$
Dengan menggunakan teorema akar rasional, kita dapat mencari akar rasional $p/q$ untuk persamaan terakhir, dimana bilangan bulat $p$ membagi $135=3^3\cdot 5$ dan integer $q$ membagi $26=2\cdot 13$. Untuk mempercepat pencarian root yang sebenarnya, dapat diamati bahwa untuk$x=1$ dan $x=2$ LHS memberi $-10$ dan $1$, masing-masing, sehingga nilai satu akar nyata harus berada di antara $1$ dan $2$. Setelah beberapa kali uji coba, kami dengan mudah mendapatkannya$x=3/2$. Persamaan tersebut kemudian dapat ditulis ulang sebagai
$$\left(x-\frac 32\right)\left( 26x^2-96x+90\right)=0$$
dari mana kita langsung mendapatkan bahwa dua akar lainnya tidak nyata.
Sejak $x=j/k=3/2$, kami akhirnya bisa menentukan $j$ dan $k$ dengan melakukan substitusi $k=2j/3$dalam persamaan awal. Misalnya, mengganti persamaan$(j^2+9k^2)=135$, kita punya
$$j\left[j^2+9\left(\frac{2j}{3}\right)^2\right]=135$$ $$5j^3=135$$
dan mengingatkan itu $j$ dan $k$ positif,
$$j=3$$
$$k=2$$
Sekarang kita bisa menyimpulkan itu
$$A=(3+2\sqrt{3})^3$$
sehingga akar kubik awalnya adalah
$$\sqrt[3]{5 + \frac{26\sqrt{3}}{9}}=\frac 13 \sqrt[3]{A}= \frac 13 \left(3+2\sqrt{3}\right)\\=1+\frac{2}{\sqrt{3}}$$
Sekali lagi, harus ditunjukkan bahwa metode ini hanya berfungsi dalam beberapa kasus (bahkan ketika rasional $j$ dan $k$ ada, langkah pembatas terpenting adalah pencarian akar rasional $x$, yang seperti telah dinyatakan bisa sangat sulit).
Selain mengganti punggung $x=z+1$untuk menyelesaikan proses solusinya, Anda tidak salah. The irreducibilis casus umumnya dijelaskan untuk persamaan kubik dengan tiga akar nyata, tetapi masalah yang sama terjadi ketika Anda memiliki akar rasional (dan dalam hal ini tidak harus semua tiga akar). Akibatnya, Anda tidak bisa menyederhanakan ekspresi akar Anda untuk diambil kembali$z=2$analitis; Anda harus menebak akar rasional sebelumnya (atau membuat tebakan ekuivalen yang melibatkan persamaan kubik berstruktur serupa, seperti yang dibahas dalam jawaban lain).
Ketika saya mengungkapkan ekspresi Anda $z$ menjadi kalkulator yang saya dapatkan $2.000000...$, yang tampaknya cukup dekat dengan nilai yang Anda maksudkan $z=2$.