Mempartisi produk kartesian dari formulir $[0,n]\times[0,m]$ ( $n,m\in\mathbf{N}$) "Secara diagonal"

Aug 15 2020

Pertimbangkan produk kartesian $[0,2]\times[0,3]$. Elemen dari himpunan ini adalah$$\begin{align*} & (0,0) & (1,0) & &(2,0) \\ & (0,1) & (1,1) && (2,1)\\ &(0,2) & (1,2) && (2,2)\\ &(0,3) & (1,3) && (2,3)\end{align*}$$ Set berikut ini mempartisi produk kartesian ini "secara diagonal": $$\{(0,0)\},\{(1,0),(0,1)\},\{(0,2),(1,1),(2,0)\},\{(0,3),(1,2),(2,1)\},\{(1,3),(2,2)\},\{(2,3)\}.$$ Apakah ada cara untuk melakukan ini secara sewenang-wenang $n,m\geq 0$? Saya awalnya berpikir tentang cara berikut. Untuk setiap$k\in[0,m+n]$, biarkan $$J_k=\{(i,j)\ |\ 0\leq i\leq n\ \land\ 0\leq j\leq m\ \land\ i+j=k\}.$$ Tapi ini $J_k$mengandung lebih banyak elemen daripada yang saya butuhkan. Ada saran untuk mengubah ini?

Jawaban

1 AirMike Aug 15 2020 at 22:31

Saya sedang memeriksa definisi set Anda $J_k$ untuk contoh Anda di atas dan ternyata berfungsi dengan baik.

Pertimbangkan, misalnya, $k=2$. Kemudian

$$J_2 = \{(i,j) \mid 0 \leq i \leq 2 \wedge 0 \leq j \leq 3 \wedge i + j = 2\}$$

Jadi Anda ingin pasangan tertata itu dalam persegi panjang $[0,2] \times [0,3]$ yang sejalan $j = -i + 2$. Dan apakah Anda dapat melihat, memecahkan persamaan itu (mengetahui itu$i, j \in \mathbb{N}$) Anda akan mendapatkan solusi tepat yang Anda tulis dalam pertanyaan Anda.

Sekarang, secara umum, itulah yang Anda lakukan di set tersebut

$$J_k = \{(i,j) \mid 0 \leq i \leq n \wedge 0 \leq j \leq m \wedge i + j = k \}$$

Di sini Anda mendaftar semua pasangan yang ada dalam persegi panjang $[0,n] \times [0,m]$ dan di antrean $i + j = k$.

Oleh karena itu, kumpulan set tersebut $J_k$ akan memberi Anda partisi dari persegi panjang itu "secara diagonal".