Menambahkan fase ke qubit: mengapa perlu untuk gerbang qubit tunggal yang sewenang-wenang
Gerbang qubit tunggal yang sewenang-wenang dapat diuraikan sebagai:
$$U=e^{i \alpha} R_z(\beta) R_y(\gamma) R_z(\delta)$$
Kami memperhatikan bahwa selain tiga rotasi, ada koefisien $e^{i \alpha}$. Yang mengganggu saya adalah fase ekstra ini$e^{i \alpha}$seharusnya tidak terlalu menjadi masalah karena hanya akan menambah fase global dalam komputasi. Lantas, mengapa biasanya ditulis? Itu karena kita ingin "secara matematis" mengidentifikasi ekspresi kesatuan tetapi dalam istilah fisika fase ini tidak akan pernah ditambahkan dalam praktik di komputer kuantum?
Jawaban
Alasan mengapa kita membutuhkannya $e^{i \alpha}$ istilah:
Benar bahwa fase global $e^{i \alpha}$ tidak akan mengubah aksi gerbang, tapi mari pertimbangkan dua gerbang ini:
$$ U1\big(\frac{\pi}{2}\big) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & i \end{pmatrix} \qquad R_z\big(\frac{\pi}{2}\big) = \begin{pmatrix} e^{-i \frac{\pi}{4}} & 0 \\ 0 & e^{i \frac{\pi}{4}} \end{pmatrix}$$
Bisa dengan mudah dilihat itu $R_z\big(\frac{\pi}{2}\big) = e^{-i \frac{\pi}{4}} U1\big(\frac{\pi}{2}\big)$. Jadi kedua gerbang itu berbeda dalam satu fase global$e^{-i \frac{\pi}{4}}$yang berarti bahwa mereka sama ketika kita menerapkannya di sirkuit. Namun demikian, seperti yang telah dibahas dalam pertanyaan ini [1] dan dalam jawaban ini [2] versi kontrol gerbang ini tidak sama satu sama lain :
$$ CU1\big(\frac{\pi}{2}\big) = \begin{pmatrix} 1 & 0 &0 &0 \\ 0 & 1 &0 &0 \\ 0 & 0 &1 &0 \\ 0 & 0 &0 &i \end{pmatrix} \qquad CR_z\big(\frac{\pi}{2}\big) = \begin{pmatrix} 1 & 0 &0 &0 \\ 0 & 1 &0 &0 \\ 0 & 0 &e^{-i \frac{\pi}{4}} &0 \\ 0 & 0 &0 &e^{i \frac{\pi}{4}} \end{pmatrix}$$
Jadi jika kita mencoba untuk membangun sirkuit dengan menerapkan versi kontrol dari beberapa kesatuan, fase global dari kesatuan tidak boleh diabaikan. Skenario ini tidak jarang. Misalnya, dalam algoritma QPE (dan dengan demikian dalam HHL), kita harus berhati-hati dengan fase global dalam kesatuan yang versi terkontrolnya digunakan dalam algoritme.