Menemukan jejak sistem secara eksplisit
Pertimbangkan bahwa kami bekerja dengan sistem gabungan yang terdiri dari sistem A dengan basis $|\alpha_j\rangle$ dan sistem B dengan basis $|\beta_j\rangle$.
Dalam catatan saya, operator kepadatan dilambangkan sebagai berikut:
$$\space\space\rho = \sum_{j,k,l,m} \langle\alpha_j| \langle\beta_k |\rho |\alpha_l\rangle |\beta_m\rangle |\alpha_j\rangle |\beta_k\rangle \langle\alpha_l| \langle \beta_m|$$
dimana catatan saya menyatakan itu $$ \rho_{jklm} = \langle\alpha_j| \langle\beta_k |\rho |\alpha_l\rangle |\beta_m\rangle $$
Mereka juga menyatakan persamaan berikut untuk Jejak A dan jejak B: $$\rho_\beta = Tr_\alpha(\rho) = \sum_{l,m}(\sum_{j} \rho_{j,l,j,m}) |\beta_l\rangle \langle\beta_m| $$
$$\rho_\alpha = Tr_\beta(\rho) = \sum_{j,k}(\sum_{l} \rho_{j,l,k,l}) |\alpha_j\rangle \langle\alpha_k| $$
Pertanyaan utama saya adalah bagaimana cara menulis $\rho_{j,l,k,l}$ dan $\rho_{j,l,j,m}$ Terus terang apa yang saya dapatkan sepertinya tidak sesuai dengan contoh yang berhasil di buku saya sehingga saya cukup bingung.
Terima kasih
Jawaban
Karena jika saya melakukannya sendiri, saya akan menuliskannya sebagai berikut: $\rho_{jlkl} =\langle \alpha_j|\langle \beta_l| \rho |\alpha_k\rangle |\beta_l\rangle $ Namun saya tidak yakin karena contoh yang berhasil yang saya lihat menyarankan yang berikut $\rho_{jlkl} =\langle \alpha_j|\langle \beta_l| \rho |\beta_l\rangle |\alpha_k\rangle $.
Sepertinya Anda salah paham tentang gagasan produk tensor status, jadi saya akan mengulasnya sebentar. Membiarkan$\mathcal H_A$ dan $\mathcal H_B$ jadilah ruang Hilbert, dan biarkan $\alpha \in \mathcal H_A$ dan $\beta \in \mathcal H_B$. Produk tensor$\alpha$ dan $\beta$ adalah pasangan yang dipesan $(\alpha,\beta)$ yang memiliki properti berikut:
- $(\alpha,\beta+\gamma)=(\alpha,\beta)+(\alpha,\gamma)$ untuk semua $\alpha\in\mathcal H_A, \beta,\gamma \in \mathcal H_B$
- $(\alpha+\delta,\beta)=(\alpha,\beta)+(\delta,\beta)$ untuk semua $\alpha,\delta \in \mathcal H_A, \beta \in \mathcal H_B$
- $\lambda (\alpha,\beta) = (\lambda \alpha,\beta) = (\alpha,\lambda \beta)$ untuk semua $\lambda \in \mathbb C, \alpha\in\mathcal H_A, \beta \in \mathcal H_B$
Daripada menulis $(\alpha,\beta)$ untuk produk tensor, itu adalah notasi standar untuk ditulis $\alpha \otimes \beta$.
Produk tensor ruang Hilbert $\mathcal H_A$ dan $\mathcal H_B$ adalah ruang dari semua produk tensor bentuk $\alpha\otimes \beta$ dengan $\alpha\in\mathcal H_A$ dan $\beta \in \mathcal H_B$, dan semua kombinasi liniernya . Produk dalam pada ruang ini dianggap
$$\bigg< (\alpha,\beta), (\gamma,\delta)\bigg>_{\mathcal H_A\otimes \mathcal H_B} := \left<\alpha,\gamma\right>_{\mathcal H_A} \cdot \left<\mathcal \beta ,\mathcal \delta\right>_{\mathcal H_B}$$
Oleh karena itu, sebuah elemen $\psi \in \mathcal H_A \otimes \mathcal H_B$ mungkin terlihat seperti
$$\psi= \alpha\otimes \beta + 3\gamma \otimes \delta$$
Jelas dari definisi itu $\alpha$ dan $\gamma$ milik $\mathcal H_A$ sementara $\beta$ dan $\delta$ milik $\mathcal H_B$. Sekali lagi sesuai konvensi standar, kami menggunakan kembali simbol tersebut$\otimes$ dan menunjukkan hasil kali tensor ruang Hilbert dengan $\mathcal H_A \otimes \mathcal H_B$.
Jika Anda ingin menggunakan notasi Dirac, Anda dapat menulis sesuatu seperti $|\psi\rangle = |\alpha\rangle \otimes |\beta \rangle$. Bra yang sesuai akan menjadi$\langle \psi| = \langle \alpha| \otimes \langle \beta |$. Jika kita membiarkan$|\phi\rangle = |\gamma\rangle \otimes |\delta \rangle$, kemudian
$$\langle \psi|\phi\rangle = \bigg(\langle \alpha| \otimes \langle \beta|\bigg) \bigg( |\gamma \rangle \otimes |\delta \rangle\bigg) = \langle \alpha|\gamma\rangle \cdot \langle \beta|\delta\rangle$$
Ketentuannya adalah apakah Anda berbicara tentang bra atau ket, kuantitas pertama dalam produk tensor adalah milik $\mathcal H_A$ (atau ruang gandanya) dan yang kedua menjadi milik $\mathcal H_B$ (atau ruang gandanya).
Dengan semua yang dikatakan, ekspresi Anda
$$\rho_{j,l,k,l} = \langle\alpha_j| \langle\beta_l |\rho |\beta_l\rangle |\alpha_k\rangle$$
tidak masuk akal bagi saya, karena produk tensor ket di sebelah kanan dalam urutan yang salah.
Pertama-tama, perlu dicatat bahwa cara Anda memahami $\rho_{ijk\ell}$pertama dan terutama adalah masalah kesepakatan. Meskipun demikian, beberapa konvensi pasti lebih "alami" daripada yang lain.
Salah satu cara untuk memikirkannya adalah bahwa komponen matriks $\rho$ di ruang komposit $\mathcal H\equiv \mathcal X\otimes\mathcal Y$tidak lain adalah: komponen matriks di beberapa ruang. Jika Anda menggunakan indeks$I,J$ untuk memberi label pada elemen dasar $\mathcal H$, Anda dapat menulis komponen matriks sebagai $$\rho_{I,J}\equiv \langle I|\rho|J\rangle, \qquad |I\rangle,|J\rangle\in\mathcal H.$$ Namun, notasi ini tidak memperhitungkan struktur bipartit $\mathcal H$. Untuk melakukan ini, kami mengamati bahwa kami selalu dapat menemukan dasarnya$\mathcal H$ yang dibangun dari basis $\mathcal X$ dan $\mathcal Y$. Dengan demikian, kita dapat memberi label pada elemen dasar$\mathcal H$menggunakan dua indeks, yang menunjukkan elemen basis terkait dari$\mathcal X$ dan $\mathcal Y$. Dengan kata lain, kita bisa menulis$$\mathcal H = \mathrm{span}(\{|i,j\rangle\equiv|i\rangle\otimes|j\rangle : \quad |i\rangle\in\mathcal X, \,\,|j\rangle\in\mathcal Y\}).$$ Kemudian, sebagai ganti indeks $I$, kami menggunakan sepasang indeks, misalnya $(i,j)$. Elemen matriks dari$\rho$ kemudian menjadi $$\rho_{(i,j),(k,\ell)} \equiv \langle i,j|\rho|k,\ell\rangle \equiv (\langle i|\otimes\langle j|)\rho(|k\rangle\otimes |\ell\rangle),$$di mana saya memasukkan cara setara yang berbeda untuk menulis ekspresi. Perhatikan bahwa saya menulis indeks "input" dan "output" dari$\rho$ menggunakan berpasangan $(i,j)$ dan $(k,\ell)$di sini, untuk menekankan peran berbeda yang dimiliki indeks. Singkatnya, orang biasanya tidak melakukan ini, dan hanya menulis$\rho_{ijk\ell}$ berarti $\rho_{(i,j),(k,\ell)}$.
Sekarang, Anda juga dapat memutuskan untuk menggunakan $\rho_{ijk\ell}$ berarti sesuatu seperti $\langle \ell,j|\rho|k,i\rangle$. Itu akan menjadi notasi yang cukup canggung.