Menemukan Lingkungan yang Ditentukan di Manifold

Question

Diberikan manifold halus, buktikan bahwa untuk himpunan terbuka$U\subset M$kita selalu dapat menemukan himpunan tertutup$\bar{B}\subset U$seperti yang$B$adalah lingkungan dari beberapa titik$p\in U$.

Upaya saya: sejak$M$memiliki dasar bola biasa, ada$B\subset U$yang bola biasa, jadi ada yang lain$B'$seperti yang$\bar{B}\subset B'$. Tapi bagaimana cara menunjukkannya terkandung dalam$U$?

Answer 1

Memilih$p\in U$dan pilih bola koordinat$V\ni p$dengan$V\subseteq U$. Kita dapat memilih bola ini sehingga ada diffeomorphism$\phi:V\to B_r(0)\subseteq \Bbb{R}^n$.Lalu, atur$W=\phi^{-1}(B_{r/2}(0))$, dan kemudian perhatikan bahwa$\overline{W}\subseteq U$dan itu$W$adalah lingkungan dari$p$.

Catatan: pilihan pertama dari$V$dimungkinkan karena ada basis dengan himpunan terbuka koordinat.