Mengapa fungsi injeksi kontinu tidak bisa dari $\mathbb R$ ke $[-1, 1]$ memiliki kebalikan terputus-putus?

Question

Di sini @Ian mengatakan ada properti tertentu dari$\mathbb R$ dan interval yang mencegah fungsi injeksi kontinu hipotetis $\mathbb R$ ke $[-1, 1]$dari memiliki invers yang terputus-putus. Properti apa ini?

Answer 1

Peta injeksi kontinu $f$antara dua interval nyata adalah monoton. Jika$f$ juga ke, gambar langsung dari setiap interval terbuka adalah interval terbuka (untuk topologi yang diinduksi aktif $[-1,1]$).

Karenanya gambar kebalikan dari setiap interval terbuka di bawah $f^{-1}$terbuka. Buktikan itu$f^{-1}$ terus menerus.

Answer 2

Seperti itu $f$tidak bisa ada. Mempertimbangkan$f(x)=1$, biarkan $a<x<b$, seharusnya $f(a)<f(b)$, $f([a,x])$ adalah interval sejak gambar dari himpunan terhubung oleh peta kontinu terhubung, itu berisi $f(a)$ dan $f(x)=1$, sejak $f(a)<f(b)<1$, itu mengandung $f(b)$. Ada disana$c\in [a,x]$ seperti yang $f(x)=f(b)$. kontradiksi.

Jika $f(b)<f(a)$, $f([b,x])$ adalah interval yang dikandungnya $f(a)$ kontradiksi.