Mengapa $i\epsilon$-resep yang diperlukan dalam penyebar Klein-Gordon?

Question

Saat mengevaluasi penyebar Klein-Gordon, dalam buku oleh P&S , hal. 31, Saya melihat itu, adalah kebiasaan untuk menggeser kutub dan menambahkan$i\epsilon$di penyebut. Saya tidak mengerti, mengapa ini perlu. Mengapa kita tidak bisa menggunakan analisis kompleks saja? Apa yang salah dalam langkah-langkah berikut?

\begin{align} \int \frac{e^{ibz}}{z^2-a^2}\, dz &= (2\pi i) \left[\lim_{z\rightarrow a} (z-a) \frac{e^{ibz}}{z^2-a^2} + \lim_{z\rightarrow -a} (z+a) \frac{e^{ibz}}{z^2-a^2}\right] [\mathrm{Residue~theorem}]\nonumber\\ % &= (2\pi i) \left[\lim_{z\rightarrow a} \frac{e^{ibz}}{z+a} + \lim_{z\rightarrow -a} \frac{e^{ibz}}{z-a}\right]\nonumber\\ % &= (2\pi i) \left[ \frac{e^{iba}}{2\,a} - \frac{e^{-iba}}{2\,a}\right]\nonumber\\ % &= \frac{i\pi}{a} \left[ e^{iba} - e^{-iba}\right]\nonumber\\ % &= - \frac{2\, \pi\, \sin{ba}}{a} \end{align}

Apa yang salah jika melanjutkan dengan cara ini? Tidak bisakah kita melakukan integrasi$p^0$ seperti yang dilakukan untuk $z$-variabel? Jelas,$a$ akan berfungsi $\vec{p}$ dan $m$.

Answer 1

Perhatikan bahwa integral asli yang Anda coba hitung berada di atas garis nyata, bukan di atas kontur tertutup, sehingga teorema Cauchy tidak berlaku sampai Anda menemukan cara yang cocok untuk menutup kontur. Karena adanya faktor eksponensial$e^{ibz}$, seperti yang telah Anda tulis, seseorang dapat menutup kontur di bidang setengah atas jika $\mathrm{Re}\, b>0$. Mari kita asumsikan itu masalahnya. Sekarang kedua kutub Anda sebenarnya berada di garis yang sebenarnya, jadi kami juga perlu menentukan cara mana untuk melewati mereka. Karena Anda menutup kontur di atas, dan Anda mengambil kedua residu, Anda menyiratkan bahwa Anda lewat di bawah kedua kutub ini. Jika Anda lewat di atasnya, mereka akan berada di luar kontur Anda dan tidak akan berkontribusi. Karena Anda lewat di bawah kedua kutub, kami dapat mendeskripsikan secara ekuivalen apa yang Anda lakukan dengan mengatakan bahwa kedua kutub bergeser ke atas pada bidang kompleks dengan jumlah yang sangat kecil.$+i\epsilon$. Ini akan menjamin bahwa Anda lewat di bawahnya saat Anda mengintegrasikan di sepanjang sumbu sebenarnya. Jadi Anda tahu bahwa Anda sebenarnya juga menyertakan beberapa$\epsilon$s dalam perhitungan Anda juga, meskipun Anda tidak mengakuinya.

Untuk kalkulasi dalam QFT, ada resep fisik yang benar tentang cara mengitari kutub, yang disebut resep Feynman, dan berbeda dari apa yang Anda lakukan di atas. Ini tercakup dengan baik dalam P&S.