Mengapa penerusan berkas yang dapat dibalik pada BG ke skema kasarnya tidak dapat dibalik?
Pertanyaan saya benar-benar menyangkut contoh tertentu. Membiarkan$G = \mu_2$ menjadi kelompok siklik urutan 2. Biarkan $* := \text{Spec }\mathbb{C}$, dan biarkan $BG := [*/\mu_2]$ hasil bagi tumpukan, di mana $\mu_2$ bertindak sepele $*$. Membiarkan$\mathcal{O}_{BG}$ menunjukkan struktur berkas, dan biarkan $L$ menunjukkan berkas yang dapat dibalik $BG$ sesuai dengan representasi nontrivial dari $\mu_2$ di $\mathbb{C}$. Jadi,$L(*\rightarrow BG) = \mathbb{C}$, dan tindakan $\mu_2$ di $*\rightarrow BG$ menginduksi aksi inversi $\mu_2$ di $\mathbb{C}$.
Membiarkan $c : BG\rightarrow *$menunjukkan peta kanonik ke skema kasarnya. Saya telah mendengar bahwa jika$L$ menunjukkan berkas yang bisa dibalik $BG$ diberikan oleh representasi nontrivial dari $\mu_2$ di $\mathbb{C}$, kemudian $c_*L$ tidak dapat dibalik $*$. Namun, mengikuti definisi (lihat di bawah), tampaknya begitu$c_*L$ memang bisa dibalik $*$. Di mana kesalahan saya?
Dengan definisi pushforward, saya percaya bagian global dari $c_*\mathcal{O}_{BG}$ harus sama dengan batasnya
$$\lim\mathcal{O}_{BG}(*\rightarrow BG)$$ dimana batasnya berkisar pada semua morfisme $f : *\rightarrow BG$ memuaskan $c\circ f = \text{id}_*$. Sejak kelompok automorfisme$*\rightarrow BG$ bertindak sepele $\mathcal{O}_{BG}$, ini hanyalah batas dari diagram dua objek $\mathbb{C}\stackrel{\text{id}}{\rightarrow}\mathbb{C}$, yang hanya berupa diagonal $\mathbb{C}\times\mathbb{C}$.
Demikian pula, bagian global dari $c_*L$ harus menjadi batas dari dua diagram objek $\mathbb{C}\stackrel{-1}{\rightarrow}\mathbb{C}$, yang hanya merupakan kumpulan pasangan $\{(a,-a) : a\in\mathbb{C}\}$.
Tindakan dari $c_*\mathcal{O}_{BG}$ di $c_*L$ harus menjadi aksi perkalian koordinat dari diagram $\mathbb{C}\stackrel{\text{id}}{\rightarrow}\mathbb{C}$ pada diagram $\mathbb{C}\stackrel{-1}{\rightarrow}\mathbb{C}$. Yaitu, di bagian global, aksinya$$c_*\mathcal{O}_{BG}\times c_*L\longrightarrow c_*L$$ seharusnya hanya diberikan oleh $((r,r),(a,-a)) \mapsto (ra,-ra)$. Ini sepertinya membuat$c_*L$ menjadi berkas yang bisa dibalik $*$, tetapi saya pernah mendengar bahwa ini sebenarnya tidak benar. Di mana kesalahan saya?
Jawaban
The pushforward $c_{\ast}L$ harus menjadi batas diagram dengan satu objek "$\mathbb{C}$"dan dua morfisme (otomatis)"$\mathrm{id} : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$"dan"$-1 : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$"; dengan kata lain, itu adalah equalizer dari $\mathrm{id}$ dan perkalian-dengan- ($-1$); jadi sebenarnya$c_{\ast}L = 0$.
Pernyataan yang lebih umum adalah: di bawah korespondensi antara kuasi-koheren $\mathcal{O}_{BG}$-modul dan $G$-representasi, fungsi pushforward $c_{\ast}$ sesuai dengan $G$-invariants functor.
Jika kita ganti $\mathbb{C}$ oleh bidang karakteristik 2, maka kita harus berhati-hati - secara umum koheren semu $\mathcal{O}_{B(\mathbb{Z}/(2))}$-modul adalah $\mathbb{Z}/(2)$-representasi dan kuasi-koheren $\mathcal{O}_{B\mu_{2}}$-modul adalah $\mathbb{Z}/(2)$-ruang vektor bertingkat (pushforward di sini sesuai dengan pengambilan derajat $0$ komponen bertingkat).