Mengapa reals dengan operasi $x \bullet y = \sqrt[3]{x^3 + y^3}$ yang dimaksud dengan grup?

Aug 16 2020

Operasi di atas adalah grup untuk bilangan real, karena 0 adalah elemen identitas, dan negatif dari bilangan real apa pun adalah kebalikannya, karena dapat diamati secara sepele. Asosiatif tidak terlalu sepele, tetapi tetap berlaku.

Faktanya, jika kita mengganti 3 untuk bilangan ganjil (5, 7 ...), operasi tersebut memenuhi properti grup. Namun, bilangan genap apa pun gagal.

Apakah ada interpretasi geometris / analitik / ... mengapa operasi seperti $x \bullet y = \sqrt[3]{x^3 + y^3}$ asosiatif dan, sebagai konsekuensinya, memberikan struktur kelompok ke real?

Jawaban

16 lisyarus Aug 16 2020 at 15:35

Membiarkan $G$ menjadi kelompok manapun, $X$ menjadi set apapun, dan $f: X \rightarrow G$menjadi bijection apapun. Kemudian, kita dapat mentransfer struktur grup dari$G$ untuk $X$ dengan pengaturan $x \cdot y = f^{-1}(f(x) \cdot f(y))$. Artinya, kami menggunakan kebijaksanaan$f$ untuk mengidentifikasi elemen $G$ dan elemen $X$, dan memasang struktur grup $X$menggunakan identifikasi ini. Saya akan meninggalkannya sebagai latihan yang memang mendefinisikan struktur grup$X$.

Sekarang ambil $G=(\mathbb R,+)$, $X=\mathbb R$ dan $f(x)=x^3$ untuk memulihkan kasus Anda.

6 JCAA Aug 16 2020 at 15:39

Jika $f$ adalah bijection aneh apapun dari real kemudian operasi

$$x\cdot y=f^{-1}(f(x)+f(y))$$

membuat real menjadi grup dan $f$sebuah isomorfisme dari kelompok aditif real ke kelompok itu. Dalam kasus Anda$f(x)=x^3$. Asosiatif mengikuti dari fakta itu$f$ adalah homomorfisme. $0$ adalah elemen netral dan $-x$ adalah kebalikan dari $x$. Berikut fakta itu$f$ ganjil digunakan.

4 KCd Aug 16 2020 at 15:46

Untuk kebijaksanaan yang sewenang - wenang$f\colon \mathbf R \to \mathbf R$, operasi $x*y = f^{-1}(f(x) + f(y))$ adalah hukum kelompok $\mathbf R$. Semua ini mengatakan bahwa jika Anda mengganti nama setiap bilangan real$x$ sebagai $f(x)$ kemudian Anda dapat mengubah hukum grup yang asli $+$ menjadi hukum kelompok $*$ yang seperti itu $f$ adalah isomorfisme dari $(\mathbf R, *)$ untuk $(\mathbf R,+)$. Intuisi bersifat aljabar, bukan geometris. Tidak ada yang ajaib tentang$n$akar th untuk ganjil $n$ selain menjadi perhiasan.

Fungsi garis singgung hiperbolik $\tanh \colon \mathbf R \to (-1,1)$ adalah bijection yang memungkinkan Anda mengangkut tambahan $\mathbf R$ ke hukum grup pada $(-1,1)$yang digunakan dalam relativitas khusus (penambahan kecepatan dalam gerakan satu dimensi). Kebalikan dari bijection ini, hingga faktor skala, disebut "kecepatan" dalam fisika.

2 J.G. Aug 16 2020 at 15:36

Jawaban singkatnya: karena $\sqrt{x^2}\ne x$ untuk $x<0$.

Jawaban panjang, yang saya suka $\cdot$ untuk $\bullet$:

Operasi yang memuaskan $(x\cdot y)^n=x^n+y^n$ menutup real, karena jika $n$ aneh kita bisa mengambil $n$root th, & if $n$ bahkan kami hanya mencoba untuk mengambil $n$akar dari sesuatu $\ge0$. Dan sejak itu$$((x\cdot y)\cdot z)^n=(x\cdot y)^n+z^n=x^n+y^n+z^n=(x\cdot(y\cdot z))^n,$$rekan operasi. (Membatalkan kekuatan$n$ sepele sejak itu, bahkan jika $n$ genap, $\cdot$ selalu didefinisikan sebagai non-negatif $n$akar th.) Jadi minimal, kita membentuk semigroup.

Sejak $x\cdot0=(x^n)^{1/n}$, untuk ganjil $n$ kami juga punya $0$ sebagai identitas, tetapi untuk genap $n$ kami tidak karena $x\cdot0=|x|$, jadi ini bukan monoid, apalagi grup . Aksioma kelompok terakhir adalah invers, yang bekerja untuk ganjil$n$ seperti yang Anda catat, tapi untuk genap $n$ kita punya $x\cdot y\ge|x|$, jadi kami juga tidak memiliki invers.

1 Bernard Aug 16 2020 at 16:05

Petunjuk :

Asosiatif hanya hasil dari fakta bahwa keduanya $\;(x\bullet y)\bullet z$ dan $\;x\bullet( y \bullet z)$ sama dengan $$\sqrt[\substack{\,\scriptstyle3\\}]{x^3 +y^3+z^3}.$$