Mengapa tidak mengganti sangat besar $n$ ke $(1+1/n)^n$ berikan nilai mendekati bilangan Euler $e$?

Question

Saya ingin bertanya berapa bilangan Eulernya $e$? Saya tidak mengerti.

Yang Saya Tahu:

• $e$ adalah $\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n$ sebagai $n$ mencapai tak terbatas

• $e$ adalah $2.718281828\ldots$

Pertanyaan:

Jika saya masukan $n = 1\ 000\ 000\ 000\ 000$, Saya mendapat $2.718523496\ldots$, yang lebih tinggi dari $2.718281828\ldots$.

Jika saya melanjutkan dan masukan $n = 1\ 000\ 000\ 000\ 000\ 000$, Saya mendapat $3.035035207\ldots$ yang jauh lebih tinggi dari $2.718281828\ldots$.

Saya pikir saya melewatkan sesuatu atau saya membuat kesalahan.

Apakah saya salah paham dengan rumusnya? Apakah rumus dan$2.718281828$ di atas hanya perkiraan?

Saya akan sangat menghargai penjelasan, klarifikasi, dan koreksi apapun. :)

Terima kasih banyak atas waktunya!

Answer 1

Berikut analisis kesalahannya. Jika$$a_n=\left(1+\frac1n\right)^n$$ kemudian $$\ln a_n=n\ln\left(1+\frac1n\right)=n\left(\frac1n-\frac1{2n^2}+\frac1{3n^3}-\cdots\right)=1-\frac1{2n}+\frac1{3n^2}-\cdots.$$ Untuk ukuran besar $n$, $\ln a_n$ sangat dekat dengan $$1-\frac1{2n}$$ sehingga $a_n$ dekat dengan $$e\exp(-1/(2n))=e\left(1-\frac1{2n}+\frac1{8n^2}-\cdots\right).$$ Sebenarnya $1/(8n^2)$ istilah di sini palsu karena saya mengabaikan $1/(3n^2)$ istilah dalam perluasan $\ln a_n$. Tapi perkiraan kasar$a_n$ Apakah itu $$a_n\approx e-\frac{e}{2n}.$$ Kesalahannya sedikit lebih buruk dari $1/n$.

Pengambilan $n=10^{12}$ katakanlah, Anda mengerti $11$ untuk $12$tempat desimal yang benar. Kesalahan yang Anda dapatkan dengan kalkulator tidak diragukan lagi karena kurangnya presisi representasi bilangan floating point. Mungkin melimpah .

Answer 2

Matematika floating point di komputer tidak sama dengan perhitungan matematika nyata. Dulu saat kita dulu$32$ bit mengapung, yang hanya memberi $23$ sedikit mantissa, tentang $7.2$angka desimal, itu adalah masalah yang dikhawatirkan semua orang dan sebagian besar kursus analisis numerik berkonsentrasi pada menghindari masalah ketepatan numerik. Sekarang float itu$64$ bit dengan $53$bit mantissa masalahnya telah sangat berkurang, tetapi masih bisa menjadi masalah. Ketika Anda meningkatkan ke kekuatan yang sangat kecil, Anda dapat memikirkannya$(1+\frac 1n)^n=e^{(\log(1+\frac 1n)n)}$ dan berkembang $\log(1+\frac 1n)$ dalam seri Taylor.