Mengenai keterbatasan batas penjumlahan

Question

Membiarkan $U$ menjadi domain di $\mathbb{C}^n$. Membiarkan$\alpha:U\times U\longrightarrow [0,\infty)$ menjadi fungsi berkelanjutan dengan properti itu $\alpha(z,w)=\alpha(w,z)$ untuk semua $z,w\in U$ dan $\alpha(z,w)\leq \alpha(z,v)+ \alpha(v,z)$ untuk semua $z,w,v\in U$.

Kami diberikan jalur yang mulus sedikit demi sedikit $\gamma:[a,b]\longrightarrow U$. Dimana$\gamma(a)=z$ dan $\gamma(b)=w$. Ambil partisi$a=x_0\leq x_1 \leq x_2\cdots\leq x_n=b$. Kemudian pilih partisi yang lebih halus dan memuaskan$\sup_{1\leq i\leq n} x_i-x_{i-1}=\Delta\longrightarrow 0$.

Sekarang jelaskan $L_\alpha(\gamma)=\lim_{\Delta\longrightarrow 0} \sum_{i=1}^{n}\alpha(\gamma(x_i),\gamma(x_{i-1}))$.

Dikatakan oleh kontinuitas $\gamma$, $L_\alpha$didefinisikan dengan baik. Saya tahu bahwa untuk setiap partisi berhingga jumlahnya terbatas, tetapi mengapa limitnya terbatas?

Answer 1

Batasnya bisa tidak terbatas bahkan ketika $\gamma$adalah peta identitas. Memang, biarkan$n=1$, $U=\{z\in \Bbb C:|z|\le 1\}$, dan $\alpha(z,w)=\sqrt{|z-w|}$ untuk semua $z,w\in U$. Membiarkan$a=-1$, $b=1$ dan $\gamma(x)=x$ untuk setiap $x\in [-1,1]$. Diberikan$n$, untuk setiap $i\in\{0,1,\dots,n\}$ taruh $x_i=2i/n-1$. Kemudian$\sum_{i=1}^{n}\alpha(\gamma(x_i),\gamma(x_{i-1}))=\sqrt{2n},$ yang cenderung tak terbatas kapan $n$ cenderung tak terbatas.