Mengevaluasi $\int \ln(2x+3) \mathrm{d}x$

Question

Evaluasi $$\int \ln(2x+3)\mathrm{d}x$$

Set $r = 2x+3 \rightarrow \mathrm{d}r = 2\mathrm{d}x$

Jadi integral menjadi $\displaystyle \frac{1}{2}\int \ln(r)\mathrm{d}r$

Set $u=\ln(r)$, $\mathrm{d}v=\mathrm{d}r$, jadi $\mathrm{d}u = \frac{1}{r}\mathrm{d}r$ dan $v=r$

$\implies \displaystyle \frac{1}{2}\int \ln(r)\mathrm{d}r=\frac{1}{2}\int u\, \mathrm{d}v=\frac{1}{2}(uv-\int v\, \mathrm{d}u) = \frac{1}{2}\left(\ln(r)r-\int \mathrm{d}r\right) = \ln(2x+3)\left(x+\frac{3}{2}\right)-\left(x+\frac{3}{2}\right)+C$

Tapi jawaban yang benar adalah $\ln(2x+3)\left(x+\frac{3}{2}\right)-x+C$

Adakah yang bisa menunjukkan di mana kesalahan saya dan juga cara yang lebih baik untuk menyelesaikan masalah? Terima kasih!

Answer 1

Tidak salah lagi. $C$ adalah konstanta arbitrer dan $-\frac 3 2+C$ hanyalah konstanta lain $C'$. Dan tidak ada cara yang lebih baik untuk menjawab pertanyaan ini.

Answer 2

Metode alternatif

Mempertimbangkan, $$\frac{\mathrm{d}(x\ln(2x+3))}{\mathrm{d}x}=\ln(2x+3)+\frac{2x}{2x+3}$$ Mengatur ulang, $$\ln(2x+3)=\frac{\mathrm{d}(x\ln(2x+3))}{\mathrm{d}x}-\frac{2x}{2x+3}$$ Jadi memadukan kedua sisi Anda bisa mendapatkan jawabannya

Answer 3

Solusi Anda benar karena konstanta ditambah konstanta lain dapat diwakili oleh konstanta yang berbeda, jadi $-\frac{3}{2}+C=C_1$.

Sebagai alternatif, Anda dapat mengintegrasikan berdasarkan bagian dan membiarkan $u=\ln(2x+3)$ dan $dv=dx$. Kemudian$du=\frac{2}{2x+3}$ dan kita bisa ambil $v=x+\frac{3}{2}$. Ini mengikuti itu\begin{align}\int \ln(2x+3)\,dx&=\ln(2x+3)\left(x+\frac{3}{2}\right)-\int \left(x+\frac{3}{2}\right)\frac{2}{2x+3}\,dx\\&= \ln(2x+3)\left(x+\frac{3}{2}\right)-\int \,dx\\&= \ln(2x+3)\left(x+\frac{3}{2}\right)-x+C, \end{align} seperti yang diharapkan!