Mengevaluasi $\left| \frac{\tan40^\circ + \tan100^\circ + \tan160^\circ}{\tan20^\circ\tan40^\circ\tan80^\circ} \right| $
Bagaimana cara menemukan nilai dari ekspresi berikut?$$ \left| \frac{\tan40^\circ + \tan100^\circ + \tan160^\circ}{\tan20^\circ\tan40^\circ\tan80^\circ} \right| $$
Saya mencoba menulis pembilangnya sebagai$\tan 40^\circ - \tan80^\circ -\tan20^\circ,$tapi kemudian ekspresinya menjadi rumit.
Jawaban
Pertama-tama yang kita miliki (lihat hukum Morrie )$$ \tan20^\circ\tan40^\circ\tan80^\circ=\sqrt{3}. $$Pembilangnya adalah, pengaturan$x=20^\circ,$ \begin{align} &\tan40^\circ+\tan100^\circ+\tan160^\circ=\\ &\qquad\qquad=\tan(60^\circ-x)+\tan(120^\circ-x)+\tan(180^\circ-x)=\\ &\qquad\qquad= \frac{\tan 60^\circ-\tan x}{1+\tan 60^\circ\tan x}+ \frac{\tan120^\circ-\tan x}{1+\tan120^\circ\tan x}+ \frac{\tan180^\circ-\tan x}{1+\tan180^\circ\tan x}=\\ &\qquad\qquad= \frac{ \sqrt{3}-\tan x}{1+\sqrt{3}\tan x}+ \frac{-\sqrt{3}-\tan x}{1-\sqrt{3}\tan x}- \tan x=\\ &\qquad\qquad= \frac{\sqrt{3}\cos x-\sin x}{\cos x+\sqrt{3}\sin x}- \frac{\sqrt{3}\cos x+\sin x}{\cos x-\sqrt{3}\sin x}- \frac{\sin x}{\cos x}=\\ &\qquad\qquad= -3\cdot\frac{3\sin x\cos^2 x-\sin^3 x}{\cos^3 x-3\sin^2 x\cos x}=\\ &\qquad\qquad=-3\cdot\frac{\sin(3x)}{\cos(3x)}=-3\tan60^\circ=-3\sqrt{3} \end{align}
Jadi hasil akhirnya adalah$$ \left| \frac{\tan40^\circ + \tan100^\circ + \tan160^\circ}{\tan20^\circ\tan40^\circ\tan80^\circ} \right|=\left|\frac{-3\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\right|=3 $$
@enzotib Sudah menjawab pertanyaan Anda dengan tepat, sementara saya telah mengembangkan kegilaan parah mencoba menyelesaikan masalah ini. Namun demikian, saya ingin menunjukkan kepada Anda metode saya, yang didasarkan pada pencarian pendekatan terbaik dari ekspresi ini. ( Ingat, ini didasarkan pada perkiraan, jadi kita tidak akan mendapatkan nilai yang sempurna ). Idenya adalah untuk menjaga agar perhitungan tetap sederhana sehingga Anda dapat menemukan nilai ekspresi ini tanpa kalkulator.
Mari kita mulai dengan pembilangnya:
$tan40+tan100+tan160 = tan40-tan80-tan20$karena 100-80 dan 160-20 adalah pasangan sudut yang berhubungan.
Saya akan membiarkan penyebutnya apa adanya.
Sekarang kita harus menemukan garis singgung dari sudut-sudut ini. Mari kita gunakan pendekatan sudut kecil, yang menurutnya$tanx = x$untuk sudut kecil yang diukur dalam radian (tentu saja semakin kecil sudutnya, semakin baik aproksimasinya ). Sekarang saya akan menerapkan pendekatan ini untuk menemukan nilai tan20°, tetapi pertama-tama saya perlu mengonversi 20° dalam radian.
20 adalah$\frac{180}{9}$dan$180$adalah$\pi$radian, jadi$20° = \frac{\pi}{9} \approx tan20°$karena pendekatan sudut kecil.
Untuk menghindari perhitungan yang panjang dan sulit, ada baiknya kita mencoba mencari nilai$\frac{\pi}{9}$.
$\pi \approx 3$,jadi$\frac{\pi}{9} \approx \frac{3}{9} \approx \frac{1}{3} \approx 0.33$.
Ingatlah bahwa kita memulai dengan nilai yang dibulatkan ke bawah, jadi lain kali kita membutuhkan perkiraan, jika situasinya memungkinkan, kita harus menggunakan nilai yang dibulatkan ke atas
Sekarang mari kita cari tan40° dengan rumus sudut ganda:
$tan2x= \frac{2tanx}{1-tan^2x}$
$tan40=\frac{2tan20}{1-tan^220} = \frac{2*0.33}{1-(0,33)^2} = \frac{0.66}{1-0.1} = \frac{0,66}{0,9} \approx \frac{0,7}{0.9} = \frac{\frac{7}{10}}{\frac{9}{10}} = \frac{7}{9} = 0,77 \approx 0,8$
Sekarang kita membulatkan ke atas dua kali, saat mendekati pecahan dan saat mendekati nilai akhir, jadi lain kali kita akan membulatkan ke bawah jika memungkinkan
Sekarang saya akan menerapkan rumus sudut ganda lagi untuk menemukan$tan80$
$tan80 = \frac{2tan40}{1-tan^240} = \frac{2*0.8}{1-(0.8)^2} = \frac{1.6}{1-0.64} = \frac{1.6}{0,36} \approx \frac{1,6}{0,4} = 4 $
Kami memperkirakan 0,36 sebagai 0,4, jadi kami membulatkan sedikit ke bawah karena penyebutnya semakin besar.
Kami sekarang dapat menemukan nilai untuk ekspresi asli:
Pembilang:
$tan40-tan80-tan20 = 0,8-4-0,33=-4,33+0,8=-3,53 $
Penyebut:
$tan20tan40tan80 = 0,8*4*0,33 = 3,2*0,33 \approx 3,2*0,3 = 3,2*\frac{3}{10} = \frac{9,6}{10} = 0,96 $
Sekarang mari kita menyusun ulang pecahan:
$\frac{3,53}{0,96}$
Kita berada dalam situasi ini: Kita mulai dengan nilai tan20° yang sedikit dibulatkan ke bawah, kemudian dibulatkan ke atas tan40° dua kali ( pembulatan berat ) dan kemudian dibulatkan ke bawah tan80° sedikit. Pembilangnya adalah -tan20°+tan40°-tan80° ini berarti +tan40° harus menjadi nilai kelebihan karena tan40° didekati dengan kelebihan dua kali sedangkan tan80° didekati dengan cacat sedikit, maka saya menambahkan tan20° itu adalah nilai didekati dengan cacat, jadi pembilangnya harus bernilai terlalu tinggi.
Sekarang mari kita analisis penyebutnya: 0,8 adalah nilai berlebih ( tan40°) sedangkan 4 adalah nilai yang sedikit lebih rendah dari yang sebenarnya, jadi 4*0,8 sedikit terlalu tinggi, tapi saya mengalikannya dengan kurang dari nol sedikit nilai yang lebih rendah jadi kita harus sedikit lebih rendah + nilai akhir dibulatkan ke bawah jadi saya seharusnya hanya memiliki sedikit kelebihan
Pembilang: kelebihan sedang-tinggi Penyebut: kelebihan seimbang sangat rendah
Keseluruhan: kelebihan sedang-tinggi
Kelebihan penyebut yang rendah berarti bahwa pecahan tersebut sedikit didekati dengan cacat, tetapi sekarang kita harus menambahkan kelebihan sedang-tinggi pada pembilangnya, jadi secara keseluruhan pecahan ini memiliki nilai yang lebih tinggi dari normal, jadi jika memungkinkan, kita akan mencoba untuk membulatkan ke bawah.
( Saya menghilangkan tanda - pada pecahan terakhir karena ekspresi memiliki nilai absolut )
Jawaban akhir dengan mempertimbangkan semua perkiraan ini adalah:
$\frac{3,53}{0,96} \approx \frac{3,5}{1} \approx 3,5 $
Saya memperkirakan sedemikian rupa sehingga pembilangnya sedikit lebih rendah dan pembilangnya sedikit lebih besar dalam upaya untuk mengimbangi pembulatan berlebihan saya.
Seperti yang Anda lihat, nilainya sedikit turun, karena seharusnya 3, itu mungkin karena pembulatan agresif saya ketika berhadapan dengan tan40°
Ya ini bukan jawaban yang tepat, ini hanya upaya saya untuk memperkirakan nilai ekspresi ini, tentu saja jawaban yang tepat yang diposting oleh @enzotib jauh lebih baik
Perhatikan bahwa setiap$\newcommand{\degree}{{\lower{.5pt}\Large\circ}}x\in\left\{20^\degree,-40^\degree,80^\degree\right\}$memuaskan$$ \begin{align} \sqrt3 &=\tan(3x)\\ &=\frac{3\tan(x)-\tan^3(x)}{1-3\tan^2(x)}\tag1 \end{align} $$Dengan demikian,$$ \tan^3(x)-3\sqrt3\tan^2(x)-3\tan(x)+\sqrt3=0\tag2 $$ Vieta mengatakan bahwa jumlah akar adalah negatif dari koefisien$\tan^2(x)$. Itu adalah,$$ \tan\left(20^\degree\right)-\tan\left(40^\degree\right)+\tan\left(80^\degree\right)=3\sqrt3\tag3 $$dan hasil kali akar-akarnya adalah negatif dari suku konstan. Itu adalah,$$ -\tan\left(20^\degree\right)\tan\left(40^\degree\right)\tan\left(80^\degree\right)=-\sqrt3\tag4 $$Karena itu,$$ \begin{align} \frac{\tan\left(40^\degree\right)+\tan\left(100^\degree\right)+\tan\left(160^\degree\right)}{\tan\left(20^\degree\right)\tan\left(40^\degree\right)\tan\left(80^\degree\right)} &=\frac{\tan\left(40^\degree\right)-\tan\left(80^\degree\right)-\tan\left(20^\degree\right)}{\tan\left(20^\degree\right)\tan\left(40^\degree\right)\tan\left(80^\degree\right)}\\[6pt] &=-3\tag5 \end{align} $$Ambil saja nilai absolut dari$(5)$.