Menggunakan aturan Leibniz untuk membedakan di bawah tanda integral untuk integral garis

Question

Adakah referensi yang membuktikan validitas diferensiasi di bawah garis integral untuk membuktikan rumus integral Cauchy

$$f’(w)=\frac{1}{2\pi i}\int_C \frac d{dw}\frac{f(u)}{u-w}du$$

Answer 1

Anda dapat menggunakan Teorema 2.27 Dari teks Analisis Nyata Folland. Versi yang disederhanakan dari teorema itu untuk bilangan kompleks akan mengatakan jika$C,D$ kompak, $h(z,w):C\times D\to \mathbb{C}$ bersifat analitik untuk semua $w$, $\partial h/\partial w (z,w)$ kontinu di kedua argumen, lalu untuk semua $w\in D$ itu mengikuti itu $$\frac{\partial}{\partial w} \int_C h(z,w) dz=\int_C\frac{\partial}{\partial w}h(z,w)dz$$

Pada dasarnya mengapa ini berhasil adalah karena $$\frac{\int_C h(z,w)dz-\int_C h(z,w_0)}{w-w_0}=\int_C\frac{h(z,w)-h(z,w_0)}{w-w_0}dz$$Folland menggunakan Teorema Konvergensi Didominasi untuk menjamin karya-karya di atas. Dalam kasus kami sebagai$C\times D$ kompak oleh Teorema Tychonoff, dan $\partial h/\partial w (z,w)$ terus menerus $C\times D$, kemudian $|\partial h/\partial w (z,w)|$ di atas dibatasi oleh sebuah konstanta, katakanlah $M$. Sejak$C$ memiliki ukuran terbatas (kompak) maka itu $M\in L^1(C)$ jadi kami bebas menggunakan Gabungan Didominasi untuk membenarkan pembedaan di bawah tanda integral.

Dalam kasus Anda, $C$adalah sebuah lingkaran, yang kompak. Sekarang untuk$f(u)/(u-w)$, Anda mungkin mengatakan ini tidak ditentukan pada kumpulan ringkas, tetapi jika kita membatasi nilai $w$ ke disk tertutup kecil dan nilai $u$ ke lingkaran, maka fungsi kita didefinisikan pada domain formulir $C\times D$ dimana $C,D$ kompak.

Answer 2

Anda dapat menemukan bukti yang cermat di sini

Berikut adalah cara lain: menggunakan fakta sederhana tentang deret pangkat, kami memiliki, memperbaiki bilangan bulat $n,$ dan menulis $f(z) = \sum_{k=0}^\infty a_k(z-w)^k$ dalam $C,$ kita punya

$f(z) = \sum_{k=0}^\infty a_k (z-w)^{k-n-1}(z-w)^{n+1}\Rightarrow \frac{f(z)}{(z-w)^{n+1}}=\sum_{k=0}^\infty a_k (z-w)^{k-n-1}.$

Ini mengikuti itu $\displaystyle \int_C\frac{f(z)}{(z-w)^{n+1}}dz=2\pi i a_k.\ $ Tapi $a_k=\frac{f^{(k)}(w)}{k!}.\ $ Hasilnya mengikuti.