Menggunakan Diferensial (bukan turunan parsial) untuk membuktikan bahwa d𝜃 / dx = -sin (𝜃) / r [duplikat]

Question

Saya mencoba membuktikan bagian-bagian dari setiap komponen matriks terbalik pada gambar terlampir. Saya telah mencoba menggunakan perbedaan dan kemudian memecahkan komponen lainnya. (Saya ingin menyelesaikannya dengan cara ini). Mencoba memecahkan misalnya,$\frac{d\theta}{dx}$ (di kiri bawah matriks terbalik [terlampir di bawah]) $$x = r cos(\theta)$$ -> $$dx = cos(\theta)dr - rsin(\theta)d\theta$$Kemudian mengamati yang kita pegang $r = constant$, jadi $dr = 0$. Saya mengerti$\frac{d\theta}{dx} = \frac{- 1}{r sin(\theta)}$, yang mendekati. Saya memasukkan ini ke dalam kalkulator parsial dan membuatnya$\theta$ fungsi dari x dan r, $\theta = cos^{-1}\left(\frac{x}{r}\right) = \cos^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{x^2 +y^2}}\right)$. Mengambil$\frac{\partial \theta}{\partial x}$Saya mendapatkan jawaban yang benar karena r merupakan fungsi dari x dan y. Jika saya menggunakan$cos^{-1}\left(\frac{x}{r}\right)$ dan ambil sebagian saya mendapatkan apa yang saya nyatakan di atas ($\frac{d\theta}{dx} = \frac{- 1}{r sin(\theta)}$). Juga saya coba ganti dr in$dx = cos(\theta)dr - rsin(\theta)d\theta$ dengan menggunakan $r^2=x^2+y^2$ dengan mengganti dr dengan $rdr = xdx + ydy$di mana saya berasumsi dy konstan. Yang memberikan saya jawaban yang salah. Saya ingin meningkatkan pemikiran logis saya sehingga saran apa pun tentang apa yang saya lakukan akan sangat bagus juga. Terima kasih!

Ringkasan: Saya mencoba membuktikan dengan menggunakan perbedaan (bukan parsial) itu $\frac{d\theta}{dx} = \frac{-sin(\theta)}{r}$

Answer 1

Masalahnya adalah Anda tidak bisa begitu saja menulis $\frac{d\theta}{dx}$. Dalam termodinamika, terdapat notasi yang sangat berguna dan penting. Mereka menulis turunan parsial dengan subskrip untuk menunjukkan variabel apa yang dibiarkan tetap. Jadi, misalnya, jika kita punya$z=f(x,y)$ dan kami ingin mencari turunan dari $f$ dengan hormat $x$, memperbaiki $y$, kami menulis $$\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)_y \quad\text{or}\quad \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_y.$$ Ini penting karena kita mungkin memiliki banyak variabel yang berkeliaran dan penting untuk mengetahui variabel apa yang diperbaiki.

Dalam contoh Anda, kami dapat memikirkan $(x,y)$ sebagai fungsi dari $(r,\theta)$. Lalu jika kita menulis$\partial x/\partial\theta$, ini biasanya menandakan $\left(\frac{\partial x}{\partial\theta}\right)_r$. Saat Anda memperbaikinya$r$, kemudian menjadi benar (karena kita pada dasarnya melakukan kalkulus satu dimensi) itu $$\left(\frac{\partial\theta}{\partial x}\right)_r = \frac 1{\left(\frac{\partial x}{\partial\theta}\right)_r}.$$ Namun, Anda mengacaukan banyak hal dengan mencoba menghitung $\left(\frac{\partial\theta}{\partial x}\right)_y$, dan ini adalah dua binatang yang sangat berbeda. Anda benar - benar harus berhati-hati dalam melacak variabel independen. Jika Anda mengubahnya, lebih banyak aturan rantai masuk.

Sekadar mengulangi, Anda mencoba membandingkan \begin{align*} \left(\frac{\partial\theta}{\partial x}\right)_r &= -\frac1{r\sin\theta} = -\frac1y \quad\text{and} \\ \left(\frac{\partial\theta}{\partial x}\right)_y &= -\frac{y}{x^2+y^2} = -\frac{\sin\theta}r. \end{align*}

Ngomong-ngomong, berhati-hatilah. Secara umum, kami tidak punya$\frac{\partial x}{\partial\theta} = \frac1{\frac{\partial\theta}{\partial x}}$. Memang, sejak itu$x=r\cos\theta$, kita punya $\partial x/\partial\theta = -r\sin\theta$ (yang mana $-y$). Di sisi lain, sejak$\theta =\arctan(y/x)$ (setidaknya untuk $-\pi/2<\theta<\pi/2$), kita punya $\partial\theta/\partial x = -\frac y{x^2+y^2}$, yang sangat berbeda dari $-y$. Ini milikmu$-\sin\theta/r$, tentu saja. Relasi yang benar berasal dari matriks turunan lengkap (disebut Jacobian), yang berbanding terbalik$2\times 2$ matriks.

Anda dapat melakukan ini semua dengan benar dengan diferensial (sebenarnya bentuk diferensial), tetapi Anda tetap harus melacak siapa variabel independen itu. Dan Anda benar - benar harus berhenti menulis hal-hal seperti itu$d\theta/dx$ kecuali kalau $\theta$sebenarnya adalah fungsi hanya dari satu variabel$x$. Untuk mendapatkan rumus pertama Anda, Anda harus menulis$d\theta$ dalam hal adil $dx$ dan $dr$; untuk mendapatkan yang kedua, Anda harus menulis$d\theta$ dalam hal biasa $dx$ dan $dy$. Ini hanya pertanyaan tentang apa yang independen variabel s adalah.