Menghitung Frekuensi Osilasi Tentang Titik Ekuilibrium Stabil

Question

Asumsikan saya memiliki partikel $m$ bergerak dalam satu dimensi di mana berfungsi $U(x) = -Ax + Bx^2$menjelaskan energi potensial. Saya mencoba mencari cara untuk menghitung frekuensi osilasi kecil di sekitar titik ekuilibrium stabil.

Pertama, keseimbangan stabil terjadi saat $U'(x) = -A + 2Bx=0$. Karenanya$x_{eq} = \frac{A}{2B}$. Saya mencoba memodelkan sistem dengan gerakan harmonik sederhana$U(x_{eq}) = \frac{1}{2}kx_{eq}^2$. Saya akan mengisolasi untuk$k$:

$$-Ax_{eq} + Bx_{eq}^2 = \frac{1}{2}kx_{eq}^2$$ $$-A + Bx_{eq} = \frac{1}{2}kx_{eq}$$ $$k = \frac{-2A + 2Bx_{eq}}{x_{eq}} \rightarrow k = -2B$$

Dari sini saya menerapkan rumus frekuensi: $f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}} = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{2B}{m}}$. Apakah ini solusi yang valid?

Answer 1

Saya agak malu mengatakan saya tidak tahu mengapa metode Anda berhasil, tetapi tampaknya memberikan jawaban yang benar. Saya yakin masalahnya terletak pada saat Anda menyamakan energi kesetimbangan dengan$\frac{1}{2} k x_\text{eq}^2$, tapi saya tidak bisa mengartikulasikannya dengan baik.

Metode yang sedikit lebih baik (untuk potensi yang diberikan) adalah menyelesaikan kuadrat . Jika Anda melakukan ini, Anda akan melihat bahwa energi potensial dapat dituliskan sebagai

$$U(x) = B\left(x - \frac{A}{2B}\right)^2 - \frac{A^2}{4B},$$

dan Anda dapat dengan mudah melihat bahwa ini pada dasarnya adalah formulir

$$U(x) = \frac{1}{2}k (x-x_\text{eq})^2 + U_0,$$

dimana $U_0$ adalah konstanta untuk nilai tertentu $A$ dan $B$. Penambahan energi potensial konstan tidak mengubah persamaan gerak, sehingga ini merupakan osilasi osilator harmonik tentang titik kesetimbangan dengan energi minimum sebesar$U_0$, dengan "konstanta pegas" sebesar $k=2B$, seperti yang Anda temukan.

Sejauh ini kedua metode kami memberikan jawaban yang sama. Namun, jika mempertimbangkan potensinya$U(x) = -A x + B x^2 + C$, dimana $C$adalah beberapa hal yang konstan, Anda akan melihat bahwa mereka tidak setuju. Tentu saja, konstanta$C$ seharusnya tidak mengubah frekuensi, sehingga metode Anda tidak bisa benar.

---

Melakukannya untuk potensi umum

Pertanyaan yang lebih menarik adalah bagaimana seseorang dapat melakukan ini secara umum . Misalkan seseorang memiliki fungsi yang sewenang-wenang$U(x)$(katakanlah fungsi kubik yang telah saya gambarkan di bawah) bagaimana cara menghitung frekuensi osilasi kecil di sekitar minimum?

Metodenya sebenarnya cukup bagus. (Saya akan mengilustrasikan ini dengan fungsinya$U(x) = A x + B x^2 + C x^3$, meskipun berfungsi dengan fungsi apa pun.)

1. Pertama, temukan minimum (lokal) yang Anda inginkan, menggunakan metode standar. Dalam kasus saya, itulah intinya$$x_0 = -\frac{2 B}{3 C}.$$

2. Selanjutnya, lakukan Ekspansi Taylor tentang titik ekuilibrium ini hingga orde kedua. Perluasan tentang suatu titik$x_0$ demikian:

$$U(x) = U(x_0) + U'(x_0) (x - x_0) + \frac{U''(x_0)}{2!} (x-x_0)^2 + \text{ higher powers of } (x-x_0)\,\,...$$

1. Karena Anda akan berkembang paling sedikit, $U'(x_0)$ adalah nol, dan $U''(x_0)>0$, jadi pada dasarnya yang perlu Anda lakukan adalah mencari turunan ganda dari $U(x)$ di $x_0$. Artinya bentuk ini sangat dekat$x_0$ fungsinya $U(x)$berperilaku sebagai konstanta ditambah suku kuadrat. Dengan kata lain, mendekati minimum terlihat seperti energi potensial osilator harmonik! (Tentu saja, ini hanya berlaku untuk osilasi yang sangat kecil, yaitu saat$x-x_0$ sangat kecil.)

2. Langkah terakhir adalah menyadari bahwa karena Anda telah mendekati fungsi Anda $x_0$ sebagai $$U(x) = U(x_0) + \frac{1}{2}U''(x_0) (x-x_0)^2,$$

Anda dapat membandingkannya dengan osilator harmonik yang ideal dan dengan mudah melihat (seperti yang saya jelaskan sebelumnya) bahwa "konstanta pegas" diberikan oleh $$k = U''(x_0)!$$

Artinya sangat dekat dengan intinya $x_0$, sistem ini berperilaku sangat mirip dengan osilator harmonik dengan konstanta pegas ini. Dalam contoh yang saya ambil, ini berarti (anehnya)$k = 2 B$lagi. Anda juga dapat mencobanya dengan contoh Anda.

Mungkin tampak sedikit membingungkan untuk dipahami pada awalnya, tetapi saya harap Anda akan setuju bahwa ini memberikan cara yang sangat rapi untuk segera menemukan frekuensi osilasi tentang minimum potensial sewenang-wenang.