Mengikat nilai eigen minimum dari matriks simetris melalui norma matriks

Question

Saya membaca makalah di mana penulis membuktikan ketidaksetaraan dalam bentuk berikut:

$$\lVert H-H'\rVert_2 \leq \lVert H-H'\rVert_F \leq \epsilon \tag 1$$

Sini $H$ dan $H'$ adalah matriks nyata simetris ($H'$ memiliki semua nilai eigen positif, jika itu penting), dan normanya adalah $L_2$norma matriks dan norma Frobenius, masing-masing. Tanpa justifikasi, penulis kemudian mengklaim:

$$\lambda_\text{min}(H) \geq \lambda_\text{min}(H') - \epsilon \tag 2$$

dimana $\lambda_\text{min}$ adalah nilai eigen minimum dari sebuah matriks.

Saya tidak dapat melihat bagaimana membenarkan hal ini, atau bahkan jika (2) bahkan dimaksudkan untuk disimpulkan dari (1). Ini kertas - akhir dari bukti Lemma 3.2, halaman 6.

Answer 1

Jawaban ini didasarkan pada yang satu ini . Di bawah ini kita akan bekerja dengan beberapa produk dalam yang berubah-ubah, dan ketika kita mengambil norma matriks, ini berarti norma operator yang terkait dengan norma vektor yang kita gunakan. Kita punya:

Dalil. Jika$A$ dan $B$ simetris nyata, maka:

$$\lambda_\text{min} (A) \geq \lambda_\text{min} (B) - \lVert A-B\rVert$$ $$\lambda_\text{max} (A) \leq \lambda_\text{max} (B) + \lVert A-B\rVert$$

Untuk membuktikan ini, kuncinya adalah ekspresi $x^T Mx$, dimana $M$ adalah matriks simetris dan $x$memiliki norma satuan. Kami membutuhkan dua lemma tentang ungkapan ini.

Lemma 1. Untuk matriks apa pun$M$ dan norma unit apa pun $x$: $$-\lVert M\rVert \leq x^T Mx\leq \lVert M\rVert$$ Bukti. Penerapan sederhana Cauchy-Schwartz dan definisi norma operator:$$|x^TMx|\leq\lVert x\rVert \lVert Mx\rVert\leq \lVert x\rVert^2 \lVert M\rVert=\lVert M\rVert$$

Lemma 2. Untuk semua matriks simetris$M$ dan norma unit apa pun $x$: $$\lambda_\text{min}(M) \leq x^T M x \leq \lambda_\text{max}(M)$$ dan batas-batasnya tercapai sebagai $x$ bervariasi pada bidang satuan.

Bukti. Membiarkan$M=P^TDP$ dimana $P$ adalah ortogonal dan $D$adalah diagonal. Kemudian$$x^TMx = (Px)^TD(Px)$$ Sebagai $x$ bervariasi di bidang satuan, $Px$ bervariasi juga di seluruh unit bola, oleh karena itu kisaran ekspresi terakhir di atas hanyalah kisaran $y^TDy$ sebagai $y$berkisar di atas bidang satuan. Dengan ketidaksetaraan penataan ulang dan beberapa argumen sederhana lainnya, minimum dicapai kapan$y$ adalah vektor eigen yang terkait dengan $\lambda_\text{min}(M)$ dan maksimal kapan $y$ adalah vektor eigen yang terkait dengan $\lambda_\text{max}(M)$.

Akhirnya kita bisa membuktikan teorema tersebut. Untuk norma unit apa pun$x$, kita punya

$$x^TAx = x^TBx + x^T(A-B)x$$

Dengan menerapkan Lemma 1 pada suku kedua dan Lemma 2 pada suku pertama, minimal ruas kiri minimal $\lambda_\text{min} (B)-\lVert A-B\rVert$. Berdasarkan Lemma 2, kita tahu bahwa minimum ruas kiri adalah sama dengan$\lambda_\text{min} (A)$. Argumen serupa menunjukkan ketidaksamaan lainnya dalam teorema.