Mengintegrasikan fungsi rasional 'bengkok'

Question

Untuk $x\in [0,1]$, biarkan $$ P_n (x) = \prod_{k=1}^{n} (x^k+1)^{(-1)^k}. $$Sebagai contoh, $\displaystyle{P_4(x) = \frac{(x^2+1)(x^4+1)}{(x+1)(x^3+1)}}$. Catatan:$P_n(1)=1/2$ jika $n$ aneh dan $1$ jika $n$ adalah genap, jadi kita tidak bisa mengharapkan konvergensi seragam $[0,1)$. Saya tertarik dengan batasannya$\lim_{n\to\infty}P_n(x)$, jika ada, dan beberapa integral terkait, yaitu:

• Apakah $P(x):=\lim_{n\to\infty}P_n(x)$ ada dan jika demikian apa adanya
• $I_n:=\int_0^1 P_n(x)\,dx$ (ini tampaknya merupakan rentang integrasi alami karena kami ingin menghindari angka negatif dan versi indeks genap meledak $x>1$)
• $I:=\int_0^1 P(x)\,dx$

Saya menghitung beberapa nilai pertama $I_n$ dengan tangan: $$ \left\{\log (2),\log (4)-\frac{1}{2},\frac{1}{27} \left(9+2 \sqrt{3} \pi \right),\frac{5}{2}+\frac{\pi }{9 \sqrt{3}}-\frac{8 \log (2)}{3}\right\} $$Lalu saya menghitung $20$nilai-nilai menggunakan CAS; urutan tampaknya bergantian dengan nilai ganjil meningkat dan nilai genap menurun (seperti yang diharapkan). saya mendapatkan$I_{1000}\approx 0.79496$ dan $I_{1001}\approx 0.794376$, jadi saya akan menebak batasnya $I$ ada di antara mereka.

Saya pernah melihat produk tak terbatas sebelumnya, sebagian besar dalam konteks beberapa materi pengantar yang pernah saya baca di seri hipergeometrik, jadi silakan gunakan mereka dalam jawaban Anda!

Answer 1

Produk tak terbatas $$P(x) = \prod_{k=1}^\infty (x^k+1)^{(-1)^k}$$ menyatu ke nilai bukan nol jika $|x| < 1$ karena $$\sum_{k=1}^\infty \log \left((x^k+1)^{(-1)^k}\right) = \sum_{k=1}^\infty (-1)^k \log(x^k+1)$$bertemu. Koefisien deret Maclaurinnya adalah deret OEIS A083365 . Menurut itu,$P(x) = \psi(x) / \phi(x)$ dimana $\psi(x)$ dan $\phi(x)$ adalah fungsi theta Ramanujan.