Mengubah distribusi sebelumnya dalam inferensi untuk parameter N binomial

Dec 14 2020

Saya berjuang dengan pertanyaan 6 dalam Latihan untuk Bab 3 (halaman 80) Analisis Data Bayesian oleh Andrew Gelman.

http://www.stat.columbia.edu/~gelman/book/BDA3.pdf

Kami memiliki data Y yang dimodelkan sebagai data binomial independen, dengan keduanya $N$ dan $θ$ tidak diketahui, sesuai makalah Raftery 1988 "Inferensi untuk parameter N binomial: Pendekatan hierarki Bayes".

$Y∼Bin(N,θ)$ dan

$N∼Poisson(μ)$, dimana $λ=μθ$

Distribusi (noninformatif) sebelumnya dari $λ,θ$ aku s $p(λ,θ) \propto λ^{-1}$

Pertanyaan 6 (a) meminta Anda mengubah untuk menentukan$p(N,θ)$.

Ini mirip dengan pertanyaan berikut, tetapi saya belum bisa menggunakannya untuk mendapatkan jawabannya.

Pendekatan Bayesian: Menyimpulkan N dan $\theta$ nilai dari distribusi binomial

Jawaban

1 Pohoua Dec 14 2020 at 17:21

Inilah yang saya dapatkan (saya tidak terlalu yakin tentang itu). Saya pikir dalam latihan itu,$N$seharusnya mengikuti distribusi Poisson dengan ekspektasi acak$\mu$. Distribusi sambungan (tidak tepat) dari$\mu, \theta$ didefinisikan pada transformasi $(\lambda = \mu \theta, \theta)$ oleh $$p(\mu, \lambda) \propto 1/\lambda .$$ Untuk mendapatkan distribusi bersama $(\mu, \theta)$ Anda perlu menggunakan fakta itu $$p(\mu, \theta) = p(\lambda, \theta) \mid\det\frac{\partial(\lambda, \theta)}{\partial(\mu, \theta)}\mid$$

Sini, $\mid\det\frac{\partial(\lambda, \theta)}{\partial(\mu, \theta)}\mid = \theta$ sedemikian rupa sehingga distribusi yang tidak tepat $(\mu, \theta)$ aku s $p(\mu, \theta) \propto 1 / \mu$ jadi yang sebelumnya adalah: $$\begin{array}{lcl} p(\mu) &\propto & 1 / \mu\\ N & \sim & \mathcal{P}(\mu) \\ \theta & \sim & \mathcal{U}([0, 1]) \end{array}$$