Mengubah Yang Dapat Dilihat, Kesalahpahaman Griffiths, Pendahuluan. ke QM, atau Definisi Berbeda
Dalam Intro Griffiths . ke QM 3, Detik. 6.2 , mengubah yang dapat diamati$Q$ oleh operator terjemahan $T$ ditemukan $$ Q' = T^\dagger Q\ T $$ sama untuk operator paritas $\Pi$ dari pada $T$ kita punya $Q' = \Pi^\dagger Q\ \Pi$.
Tapi dalam teks lain, eg, Tannoudji, QM, 2nd ed, Vol. I, Pelengkap bab VI, Pelengkap B$_{VI}$, 5. Rotasi objek yang dapat diamati , dan juga dalam pertanyaan lain di sini dan di sini transformasi pada yang dapat diamati$A$ dengan transformasi kesatuan $U$ seharusnya $$ A' = UA\ U^\dagger $$ dimana $U$, seperti yang saya mengerti, harus menjadi transformasi aktif, sebagai $T$di atas dan saya berharap kedua persamaan itu harus sama. Tetapi tampaknya kedua definisi tersebut tidak setara, atau adakah kesalahan?
DITAMBAHKAN
Definisi Griffiths:
Operator yang diubah $\hat Q'$ didefinisikan sebagai operator yang memberikan nilai ekspektasi yang sama dalam keadaan tidak diterjemahkan $\psi$ seperti halnya operator $\hat Q$ dalam keadaan diterjemahkan $\psi'$ $$ \langle\psi'|\hat Q|\psi'\rangle = \langle \psi | \hat Q' |\psi \rangle $$Ada dua cara untuk menghitung efek terjemahan pada nilai ekspektasi. Seseorang sebenarnya dapat menggeser fungsi gelombang dalam jarak tertentu (ini disebut transformasi aktif ) atau seseorang dapat meninggalkan fungsi gelombang di tempatnya dan menggeser asal sistem koordinat kita dengan jumlah yang sama ke arah yang berlawanan ( transformasi pasif ). Operator$\hat Q'$ adalah operator dalam sistem koordinat bergeser ini.
Menggunakan Persamaan. 6.1,$$ \langle\psi|T^\dagger\hat Q\ \hat T|\psi\rangle = \langle \psi | \hat Q' |\psi \rangle $$
Definisi Tannoudji:
Mari kita asumsikan sistem berada di eigenstate $|u_n\rangle$ dari $A$: perangkat untuk mengukur $A$ dalam sistem ini akan memberikan hasil $a_n$tanpa kegagalan. Tetapi sebelum melakukan pengukuran, kami menerapkan rotasi$\scr R$ke sistem fisik dan, secara bersamaan, ke perangkat pengukur; posisi relatif mereka tidak berubah. Akibatnya, jika diamati$A$ yang kita pertimbangkan menggambarkan besaran fisik yang hanya melekat pada sistem yang telah kita putar (yaitu, terlepas dari sistem atau perangkat lain yang belum kita putar), kemudian, dalam posisi barunya, alat pengukur tersebut akan tetap memberikan hasil yang sama $a_n$tanpa kegagalan. Sekarang, setelah rotasi, perangkat, menurut definisi, mengukur$A'$, dan sistem dalam status: $$ |u_n'\rangle = R|u_n\rangle $$ Karena itu kita harus memiliki: $$ A|u_n\rangle = a_n|u_n\rangle \implies A'|u_n'\rangle = a_n|u_n'\rangle $$ itu adalah: $$ R^\dagger A' R |u_n\rangle = a_n|u_n\rangle $$
Catat itu $\scr R$ adalah perputaran fisik ruang 3 dimensi dan $R$ adalah operator perwakilannya di ruang Hilbert.
Jawaban
Ada dua ide yang berbeda secara fisik dengan properti matematika yang berbeda ketika mendefinisikan aksi ( aktif ) dari sebuah simetri pada yang dapat diamati dalam fisika kuantum.
Asumsikan bahwa, menurut teorema Wigner ,$U$ adalah transformasi kesatuan atau anti kesatuan dari vektor keadaan $\psi$sesuai dengan aksi aktif pada status sistem kuantum.
Jika $A$adalah dapat diamati, kami memiliki aksi ganda ,$$A \to S_U(A) := U^{-1}A U$$dan aksi ganda terbalik $$A \to S^*_U(A) := UAU^{-1}\:.$$
Yang pertama memiliki arti tindakan pada instrumen pengukuran fisik sehingga efek pada hasil pada keadaan tidak berubah sama dengan hasil dari keadaan yang berubah pada yang tidak berubah yang dapat diamati. Yaitu alih-alih menerjemahkan sistem bersama$x$, Saya menerjemahkan instrumen bersama $-x$.
Yang terakhir memiliki arti tindakan pada instrumen pengukuran yang membatalkan tindakan simetri pada sistem sejauh hasil pengukuran diperhatikan.
Bukti dari fakta-fakta ini sepele dari formalisme QM dasar (lihat Catatan akhir ).
Ada perbedaan matematis yang mendasar saat membahas aksi kelompok simetri $G$ diwakili oleh representasi kesatuan (atau kesatuan proyektif) pada vektor negara $$G\ni g \mapsto U_g\:.$$ Seperti biasa, (hingga fase) $$U_gU_h =U_{g\circ h}\:, \quad U_e = I$$ dimana $\circ$ adalah produk di $G$ dan $e$adalah elemen identitas. Untuk selanjutnya saya menggunakan singkatan$S_g := S_{U_g}$ dan juga untuk $S^*$.
Aksi ganda terbalik mendefinisikan representasi yang tepat dari $G$: $$S^*_g S^*_h = S^*_{g\circ h}\:,$$ sedangkan aksi ganda mendefinisikan representasi kiri $$S_g S_h = S_{h\circ g}\:.$$Penggunaan satu tindakan atau lainnya adalah masalah kenyamanan dan tergantung pada interpretasi fisik. Dalam QFT, aksi alami dari kelompok isometri ruangwaktu pada observasi lapangan biasanya dilaksanakan melalui$S^*$.
CATATAN .
Jika $$A = \int_{\sigma(A)} \lambda dP^{(A)}(\lambda)$$ adalah dekomposisi spektral dari operator selfadjoint $A$ dan $U$ adalah operator kesatuan atau antiuniter $$UAU^{-1} = \int_{\sigma(A)} \lambda dUP^{(A)}(\lambda)U^{-1}\:.$$ Dengan kata lain, ukuran spektral $P^{(UAU^{-1})}(E)$ dari $UAU^{-1}$ hanya $UP^{(A)}(E)U^{-1}$.
Oleh karena itu, probabilitas hasil $A$ tetap di $E\subset \mathbb{R}$ ketika negara diwakili oleh vektor satuan $\psi$ aku s $$||P^{(A)}(E)U \psi||^2 = ||U^{-1}P^{(A)}(E)U \psi||^2 = ||P^{(U^{-1}AU)}(E)||^2 = ||P^{(S_U(A))}(E) \psi||^2\:,$$ menimbulkan interpretasi tersebut $S_U(A)$: bertindak $A$ dengan $S_U$ dan membiarkan keadaan tetap sama dengan bertindak $\psi$ dengan $U$ dan pergi $A$ tidak berubah.
Secara khusus, khususnya mengenai nilai harapan, $$\langle\psi| S_U(A) \psi \rangle = \langle U\psi| A \:U\psi \rangle$$
Demikian pula, $$||P^{(S^*_{U}(A))}(E)U \psi||^2 = ||U^{-1}UP^{(A)}(E)U^{-1}U \psi||^2 = ||P^{(A)}(E) \psi||^2\:,$$ menimbulkan interpretasi tersebut $S^*_U(A)$: tindakan di $A$ dengan $S_U^*$ membatalkan tindakan $U$ di $\psi$.
Secara khusus, khususnya mengenai nilai harapan, $$\langle U\psi| S^*_U(A) U\psi \rangle = \langle\psi| A \psi \rangle$$