Menguraikan polinomial simetris $\Sigma{x_1^2x_2^2x_3^2}$ menjadi polinomial simetris dasar.

Aug 18 2020

Metode yang saya coba gunakan melibatkan keduanya (ketika tidak semua eksponen sama, misalnya $\Sigma{x_1x_2^2}$) berulang kali mengekstraksi monomial dengan eksponen sama setinggi mungkin (jadi untuk contoh eksponen tidak sama di atas $(\Sigma{x_1})(\Sigma{x_1x_2})$) atau memindahkan eksponen ke luar penjumlahan ketika semua eksponen sama, seperti dalam judul pertanyaan, yaitu yang saya tanyakan, jadi langkah pertama di sini adalah $\Sigma{x_1^2x_2^2x_3^2}$ = $(\Sigma{x_1x_2x_3})^2$. Jelas ini$E_3^2$, bersama dengan suku-suku yang perlu dikurangkan, berdasarkan berapa banyak variabel yang sama di antara 2 $E_3$masuk $E_3^2$: 0, 1, atau 2. Jika tidak ada yang sama, Anda dapat menggunakan salah satu dari $E_3$untuk menentukan pilihan 3 dari total 6 tak tentu, sehingga istilah itu $2E_6$. Pemikiran saya adalah, jika 1 tak tentu sama, Anda mendapatkan ekspresi yang perlu dipecah lebih lanjut, yaitu$\Sigma{x_1^2x_2x_3}$, itu akan dikalikan dengan $E_2$. Demikian pula, jika 2 tak tentu sama, Anda mendapatkan ekspresi yang perlu dipecah lebih lanjut, yaitu$\Sigma{x_1^2x_2^2x_3}$, itu akan dikalikan dengan $E_1$. Sejauh ini usaha saya untuk memecahkan masalah ini sepertinya mengarah pada jawaban buku, yaitu$E_3^2 + 2E_1E_5 - 2E_2E_4 -2E_6$. Tapi langkah saya selanjutnya dalam membusuk lebih lanjut$\Sigma{x_1^2x_2x_3}$ dan $\Sigma{x_1^2x_2^2x_3}$ menyebabkan istilah-istilah yang jauh lebih rumit, tanpa pembatalan yang saya lihat mengarah ke kumpulan istilah yang lebih sederhana yang melibatkan adil $E_1E_5$, $E_2E_4$, dan $E_6$ untuk mengurangi $E_3^2$. Selain itu, buku tersebut menambahkan$E_1E_5$istilah kembali, menunjukkan bahwa ada urutan dekomposisi saya salah, mungkin melibatkan pembatalan. Adakah yang bisa menunjukkan di mana saya melakukan kesalahan ini?

Jawaban

1 Alien Aug 26 2020 at 03:24

Kunci kesalahan Anda adalah setiap kumpulan $E_6$ tidak hanya muncul dua kali, itu benar-benar muncul ${6 \choose 3} = 20$waktu. Di sisi lain, diberikan a$\sum x_1^2x_2x_3x_4x_5$ sebenarnya ada ${4 \choose 2} = 6$ cara untuk mengatur ekspresi yang sama, sementara $\sum x_1^2x_2^2x_3x_4$hanya memiliki dua cara untuk menyiapkan. Selain itu, monomial baru yang dibuat tidak sesederhana contoh Anda, yang mudah dilihat karena seluruh ekspresi harus berderajat 6.

Untuk menjelaskannya, diberi monomial $abcdef$ di $E_6$, Anda dapat membuat monomial ini melalui $abc \cdot def$, $abd \cdot cef$, dll. Semua cara memilih 3 elemen dari 6 karya. Diberikan$abcde^2$ di $E_5E_1$, Anda dapat membuat monomial melalui $abe \cdot cde$, $ace \cdot bde$, dll. Semua cara memilih 2 elemen dari 4 karya. Proses yang tepat ini digunakan untuk menentukan koefisien dalam perhitungan di bawah ini.

Karena perhitungan ini sangat rawan kesalahan, saya hanya akan melakukan seluruh perhitungan dari awal hingga selesai, lalu Anda dapat memeriksa hasil Anda dengan langkah-langkah ini.

Notasi: $S_n = E_n, P_{a, b, c, ...} = \sum \limits_{\text{sym}} x_1^ax_2^bx_3^c...$, dimana $S_n$ adalah notasi alternatif untuk polinomial simetris dasar dan $P_{a,b,c...}$ adalah singkatan tipe Muirhead.

$P_{2,2,2} = S_3^2 -2P_{2,2,1,1} - 6P_{2,1,1,1,1} - 20S_6$ (Hasil 1)

$P_{2,2,1,1} = S_2S_4-4P_{2,1,1,1,1}-15S_6$ (Hasil 2)

$P_{2,1,1,1,1} = S_1S_5-6S_6$ (Hasil 3)

$P_{2,2,2} = S_3^2 -2S_2S_4 + 2P_{2,1,1,1,1} +10S_6$ (Menggunakan hasil 1 dan 2 -> hasil 4)

$P_{2,2,2} = S_3^2 -2S_2S_4 + 2S_1S_5 - 2S_6$ (Menggunakan hasil 4 dan 3 -> Jawab)

Dan kita selesai. Semua itu adalah pekerjaan dan perhitungan yang cermat, tidak ada yang gila.