Menjelaskan apa artinya polinomial tidak dapat direduksi atas F

Question

Misalkan F adalah medan dan misalkan F [x] adalah cincin polinomial dalam satu x tak tentu dengan koefisien di F. Jelaskan apa artinya polinom g (x) di F [x] tidak dapat direduksi atas F.

Saya berpikir seperti ini (sangat penting untuk melakukannya dengan benar):

Ini berarti bahwa polinomial berderajat n> = 1 dengan koefisien dalam suatu Bidang F dikatakan tak dapat direduksi atas F jika tidak dapat ditulis sebagai perkalian dua polinomial tak konstan di atas F derajat kurang dari n.

Cukup untuk membuatnya benar? Atau mungkin menambahkan baris tentang mereka semua menjadi bilangan prima?

Answer 1

Anda tidak perlu menyatakan bahwa ia memiliki faktorisasi menjadi bilangan prima dengan setidaknya dua faktor, tetapi setara untuk cincin polinomial.

Di ring umum, sebuah elemen $r$tidak dapat direduksi jika, setiap kali ditulis sebagai$r=ab$, tepatnya salah satu $a$ dan $b$bisa dibalik. Penulisan$r\mid a$ jika ada $b$ seperti yang $r=ab$, cara lain untuk mengatakan ini adalah itu $r$ tidak dapat direduksi jika, kapan pun $a\mid r$, $r\mid a$.

Ini berbeda dengan prime, yaitu: $r$adalah bilangan prima jika$r$ bukan nol dari pembalik dan, kapan pun $r\mid ab$, $r\mid a$ atau $r\mid b$.

Dalam domain integral (dengan kesatuan) $R$, setiap bilangan prima tidak dapat direduksi, tetapi tidak setiap kebutuhan yang tidak dapat direduksi menjadi bilangan prima. Untuk melihat bahwa setiap bilangan prima tidak dapat direduksi, anggaplah$r$ adalah bilangan prima dan $r=ab$. Sejak$r=ab$, tentu $r\mid ab$. Jadi$r\mid a$ atau $r\mid b$, tanpa kehilangan keumuman $r\mid a$. Jadi$a=rs$ untuk beberapa $s$, dan dengan demikian $$ r=ab=rsb.$$ Sejak $R$ merupakan domain integral dan $r(1-sb)=0$, kami melihat itu $sb=1$. Khususnya,$b$ bisa dibalik, jadi $r$ tidak bisa direduksi.

Cincin di mana setiap tak tereduksi adalah prima adalah domain faktorisasi unik , atau UFD. Ini setara dengan pernyataan bahwa setiap elemen$r\in R$memiliki faktorisasi menjadi tak tereduksi, dan , tak tereduksi yang muncul dalam faktorisasi ini unik hingga penataan ulang dan perkalian dengan elemen yang dapat dibalik.

Cincin polinomial (dalam banyak variabel potensial) di atas bidang adalah contoh UFD, jadi untuk cincin polinomial ada beberapa definisi potensial dari tak tersederhanakan.