Menunjukkan bahwa $7^{(2n^2 + 2n)}$ kongruen dengan $1 \bmod 60$

Aug 20 2020

Baru saja menyelesaikan ujian tetapi saya tidak dapat menyelesaikan tugas berikut:

Tunjukkan bahwa hal berikut berlaku untuk semua $n \in \mathbb{N}$:

$7^{2(n^2 +n)} \equiv 1 \mod 60$

Saya telah mencoba untuk menunjukkan bahwa eksponen adalah kelipatan $\varphi(60) = 16$ dan kemudian gunakan $a^{\varphi(n)} \equiv 1 \mod n$tapi saya rasa itu salah, atau setidaknya itu tidak membawa saya lebih jauh. Adakah yang punya tip atau trik tentang cara mengatasi ini?

Jawaban

4 JCAA Aug 20 2020 at 20:23

Iya, $n^2+n=n(n+1)$ selalu demikian $2n^2+2n$ habis dibagi $4$, jadi $2n^2+2n=4k$ dan $7^{2n^2+2n}=(7^4)^k=2401^k \equiv 1 \mod 60$.

1 JohnOmielan Aug 20 2020 at 20:24

Sebenarnya, Anda hanya perlu menunjukkan eksponen selalu kelipatan dari urutan perkalian dari$7$ modulo $60$. Karena nilai ini harus membagi$\varphi(60) = 16$, itu harus menjadi faktor $16$. Seperti yang ditunjukkan oleh komentar pertanyaan Doctor Who , Anda dapat dengan mudah menentukan dan memverifikasi urutan perkaliannya$4$ sejak $7$ dan $7^2 = 49$ tidak bekerja, tapi $7^4 = 2401 \equiv 1 \pmod{60}$berhasil. Anda hanya perlu mengonfirmasi$n^2 + n = n(n + 1)$ selalu genap, yang cukup mudah dilakukan sejak saat itu $n$ atau $n + 1$ bahkan untuk semua $n$.