Menunjukkan bahwa $(\Bbb Z/15\Bbb Z)^{\times}\simeq\Bbb Z/4\Bbb Z\times\Bbb Z/2\Bbb Z$

Aug 18 2020

Menunjukkan bahwa $(\Bbb Z/15\Bbb Z)^{\times}\simeq\Bbb Z/4\Bbb Z\times\Bbb Z/2\Bbb Z$, dimana $(\Bbb Z/15\Bbb Z)^{\times}$ adalah kelompok modulo integer $15$ dalam perkalian.

Ini adalah pertanyaan yang melibatkan Teorema Isomorfisme Pertama tetapi saya tidak tahu bagaimana menggunakannya dengan produk langsung. Saya telah memeriksa apakah grup tersebut bersiklus dan juga mencoba untuk hanya menemukan fungsi$f:\Bbb Z/4\Bbb Z\times\Bbb Z/2\Bbb Z\to(\Bbb Z/15\Bbb Z)^{\times}$tapi itu tidak membawa saya kemana-mana. Jika memungkinkan, petunjuk akan membantu.

Jawaban

3 DietrichBurde Aug 18 2020 at 13:43

Kami selalu punya $$ (\Bbb Z/pq\Bbb Z)^{\times}\cong (\Bbb Z/p\Bbb Z)^{\times}\times (\Bbb Z/q\Bbb Z)^{\times}, $$ untuk bilangan prima $p$ dan $q$ oleh CRT (Teorema Sisa Cina).

Selanjutnya kita punya $(\Bbb Z/p\Bbb Z)^{\times}\cong \Bbb Z/(p-1)\Bbb Z$.

Referensi:

$\mathbb Z_{mn}$ isomorfik menjadi $\mathbb Z_m\times\mathbb Z_n$ kapanpun $m$ dan $n$ adalah coprime

Apakah saya buktinya $U_{pq}$ bukan siklik jika $p$ dan $q$ apakah bilangan prima ganjil berbeda benar?