Menunjukkan bahwa $f’(0)$ ada dan sama dengan 1.

Dec 12 2020

Membiarkan $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$terus menerus. Asumsikan bahwa$f’(x)$ ada untuk semua $x \neq 0$ dan $ \lim_{x\to\ 0} f'(x) = 1$. Menunjukkan bahwa$f’(0)$ ada dan $f’(0) = 1$

Upaya saya: $$1 = \lim_{x\to0} \lim_{h\to0}\frac{f(x + h) - f(x)}{h} = \lim_{h\to0}\frac{f(0 + h) - f(0)}{h} = f’(0)$$

Saya tidak berpikir bahwa pertukaran batas yang saya lakukan sudah benar. Dapatkah seseorang membantu saya dengan cara melakukan ini.

Jawaban

2 gtoques Dec 12 2020 at 15:15

Saya pikir posting yang ditautkan Martin R mengatakan sesuatu yang serupa, tetapi ini adalah aplikasi standar MVT: Fix $h>0$ dan pertimbangkan $\frac{f(h) - f(0)}{h}$, maka dengan teorema nilai rata-rata Anda dapat menemukan sebuah titik $a \in (0,h)$ seperti yang $\frac{f(h) - f(0)}{h} = f'(a)$. Sekarang ambil$h \to 0$. Apa yang terjadi dengan$a$? Ingatlah itu$a$ tergantung pada $h$.

Selain itu, menukar batas bukanlah ide yang baik kecuali jika Anda mengajukan banding ke teorema / hasil tertentu yang memungkinkan Anda melakukan ini. Secara umum bahkan batas "mudah" tidak dapat diubah.