Menunjukkan bahwa $f(x) = x|x|$ yang berkelanjutan dan dapat dibedakan - verifikasi solusi?
Latihan lain yang saya lakukan tanpa solusi apa pun.
Saya sangat ragu ini benar jadi tolong perbaiki saya :)
Membiarkan $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ diberikan oleh $f(x):=x|x| .$ Menunjukkan bahwa $f$ terus menerus dan dapat dibedakan $\mathrm{R}$
$$ \begin{array}{l} \text { Continuous: } \lim _{x \rightarrow c} f(x)=f(c) \\ \begin{aligned} \lim _{x \rightarrow c} x \cdot|x| &=\lim _{x \rightarrow c} x \cdot \lim _{x \rightarrow c}|x|=f(c) \\ &=\lim _{x \rightarrow c} c \cdot \lim _{x \rightarrow c}|c|=f(c) \\ &=c \cdot|c|=f(c)=c \cdot|c| \end{aligned} \end{array} $$ Begitu $f(x)$ terus menerus
Dapat dibedakan: tunjukkan $f^{\prime}(x)$ ada sama sekali $x \in \mathbb{R}$ : $$ \begin{array}{l}\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ \lim _{h \rightarrow 0} \frac{(x \cdot|x|)+h-(x \cdot|x|)}{h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{h}{h}=1\end{array} $$ $$ So f(x) \text { is differentiable } $$
Jawaban
Bagian kontinuitas benar, tetapi bukan bagian diferensiabilitas. Catat itu$f(x)=x^2$ adalah $x\geqslant0$. Ini menunjukkan itu$f'(x)=2x$ adalah $x>0$ dan bahwa turunan hak dari $f$ di $0$ adalah $0$. Dengan argumen yang sama,$f'(x)=-2x$ adalah $x<0$ dan turunan kiri dari $f$ di $0$ adalah $0$. Begitu,$f$ berbeda dalam $\Bbb R\setminus\{0\}$ dan, karena turunan kiri dan kanan pada $0$ keduanya sama $0$, $f'(0)=0$. Khususnya,$f$ dibedakan di $0$ terlalu.
Kalau tidak,
untuk $x<0$, $f(x)=-x^2$, yang dapat dibedakan;
untuk $x>0$, $f(x)=x^2$, yang dapat dibedakan;
di $x=0$, $\dfrac{f(h)-f(0)}h=\pm h\to 0$ menegaskan bahwa fungsi tersebut dapat dibedakan.
Fungsi yang dapat dibedakan juga kontinu.
Untuk $x\neq 0$, $$\begin{align*} \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}&= \lim_{h\to 0} \frac{(x+h)|x+h|-x|x|}{h}\\&=\lim_{h\to 0} \frac{x|x+h| + h|x+h|-x|x|}{h}\\&=\lim_{h\to 0} \frac{x(|x+h|-|x|)+h|x+h|}{h}\\&= \lim_{h\to 0}\frac{x(|x+h|-|x|)}{h} + \frac{h|x+h|}{h}\\&=\bigg[x\lim_{h\to 0}\frac{|x+h|-|x|}{h}\bigg]+|x|\\&=\frac{x^2}{|x|}+|x|\\&= 2\frac{x^2}{|x|}\\&=2\bigg|\frac{x^2}{x}\bigg|\\&=2|x|\end{align*} $$
Untuk batas tangan kiri dan kanan $$f'(x)=\frac{x^2}{|x|}+|x|$$ sebagai $x\to 0$, keduanya pergi ke $0$, jadi $f(x)$ dibedakan di $0$.
Catatan: Untuk $g(x)=|x|$, $$\begin{align*} g'(x)&=\lim_{h\to 0} \frac{|x+h|-|x|}{h}\\&=\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{(x+h)^2}-\sqrt{x^2}}{h}\\&=\lim_{h\to 0} \frac{(x+h)^2-x^2}{h(\sqrt{(x+h)^2}+\sqrt{x^2})}\\&=\lim_{h\to 0}\frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h(\sqrt{(x+h)^2}+\sqrt{x^2})}\\&= \lim_{h\to 0} \frac{2x+h}{\sqrt{(x+h)^2}+\sqrt{x^2}}\\&= \frac{2x}{2|x|}\\&=\frac{x}{|x|}\end{align*}$$