Menunjukkan bahwa $\frac{dy}{dx} = 5y +28 \cos(y), y(0) = 54$ memiliki solusi unik pada $\mathbb{R}$

Question

Menunjukkan bahwa $\frac{dy}{dx} = 5y +28 \cos(y), y(0) = 54$ memiliki solusi unik pada $\mathbb{R}$.

Ini adalah spin off dari salah satu masalah dalam Masalah Berkeley di Matematika.

Solusi saya (upaya) cukup jauh lebih pendek daripada yang disajikan oleh otoritas (mereka menunjukkan bahwa solusi unik ada di beberapa lingkungan $(0,54)$ menggunakan versi lokal dari teorema Picard dan kemudian menggunakan IFT untuk menemukan solusi eksplisit di lingkungan ini dan membuktikan bahwa solusi ini valid di $\mathbb{R}$) jadi saya ingin memastikan bahwa saya tidak melewatkan sesuatu.

Inilah solusi saya:

Membiarkan $f(x,y)= 5y +28\cos(y)$. Memperbaiki$h >0$. Dengan sifat dasar fungsi kontinu$f$ terus menerus $[-h,h] \times \mathbb{R}$ dan terlebih lagi Lipschitz in $y$di strip ini. Berikut dari,

$|f_y (x,y)|=|5-28\sin(y)| \leq 5+28|\sin(y)| \leq 5+28 = 33$ dan MVT.

Teorema Picard berlaku dan kami melihat bahwa IVP memiliki solusi unik $[-h,h]$.

Tapi $h$ sewenang-wenang sehingga IVP memiliki solusi untuk semua $\mathbb{R}$. $\blacksquare$

Apakah ini benar? Secara umum saya agak ragu tentang bagaimana membuktikan keunikan / keberadaan solusi global ... kelanjutan analitik atau Picard global ?!

---

Perhatikan versi teorema Picard yang saya gunakan adalah

IVP $y'(x) = f(x,y), y(a)=b$, memiliki solusi unik pada $\mathbb{R}$ asalkan, $\forall h:$

• $f$ terus menerus $[a-h, a+h] \times \mathbb{R}$

• $f$ adalah Lipschitz tahun ini $[a-h, a+h] \times \mathbb{R}$.

Answer 1

Ide Anda benar. Dengan sisi kanan sub-linier Anda mendapatkan solusi global. Ide bukti dieksplorasi misalnya di

• Adanya solusi ODE orde pertama. Apa yang harus dibuktikan?
• Ketimpangan menjadi bukti solusi unik ODE

Masalah dengan sumber Anda mungkin adalah bahwa mereka tidak memberikan upaya untuk membuktikan versi teorema yang lebih global ini setelah standar yang dilokalkan. Jadi mereka harus mengumpulkan solusi dari banyak solusi lokal.

Perhatikan bahwa dengan rumusan kondisi Anda, Anda hanya mendapatkan solusi $[a-h,a+h]$, yang seharusnya tidak mengherankan karena ini adalah domain ODE yang dieksplorasi.