Menunjukkan bahwa $\int_0^\infty {1\over{x^4+1}}\,dx=\int_0^\infty {x^2\over{x^4+1}}\,dx$ [Tutup]

Dec 14 2020

Bisakah seseorang memberi saya petunjuk bagaimana menunjukkannya $$\int_0^\infty {1\over{x^4+1}}\,dx=\int_0^\infty {x^2\over{x^4+1}}\,dx?$$

Saya tahu bagaimana melakukan kedua integral secara terpisah, tetapi pertanyaan ini mengarah ke cara lain untuk mengevaluasi mereka dan mengharuskan ini untuk ditampilkan terlebih dahulu. Karena itu saya ingin menunjukkan kesetaraan dengan memanipulasi integral seperti yang dimaksudkan pertanyaan daripada mengevaluasi keduanya secara terpisah.

Saya telah mencoba bekerja dengan kedua sisi dan saya merasa seperti melewatkan satu trik. Menggunakan integrasi dengan bagian meningkatkan kekuatan penyebut dan tidak ada pembatalan bagus yang terjadi (kecuali rumus reduksi yang tidak terkait). Tidak bisa melihat substitusi yang bagus juga.

Jawaban

10 MarkViola Dec 14 2020 at 01:22

Perhatikan bahwa dengan menegakkan substitusi $x\mapsto 1/x$, kami temukan

$$\begin{align} \int_0^\infty \frac{1}{1+x^4}\,dx&\overbrace{=}^{x\mapsto 1/x}\int_\infty^0 \frac1{1+1/x^4}\,\left(-\frac1{x^2}\right)\,dx\\\\&=\int_0^\infty \frac{x^2}{1+x^4}\,dx \end{align}$$

Dan kita selesai!

4 marlasca23 Dec 14 2020 at 01:22

Pada dasarnya Anda ingin membuktikannya

$$\int_0 ^\infty \frac{1-x^2}{1+x^4} dx = 0$$

Pertimbangkan integral di $(1,\infty)$selang. Menerapkan perubahan variabel$y = 1/x$ kita mendapatkan

$$\int_0 ^1 \frac{1-x^2}{1+x^4}dx - \int_0^1 \frac{1-y^2}{1+y^4} dy = 0$$

yang jelas benar.