Menunjukkan bahwa $x_{n+2} = \frac{1}{3} x_{n + 1} + \frac{1}{6} x_n + 1$ dibatasi, monoton, dan temukan batasnya
Buktikan itu $x_1 = 0, x_2 = 0, x_{n+2} = \frac{1}{3} x_{n + 1} + \frac{1}{6} x_n + 1$terbatas dan monotonik. Kemudian temukan batasnya.
Upaya saya untuk membatasi:
(Menggunakan induksi) Untuk kasus dasar yang kami miliki $0 \leq x_1 = 0 \leq 2$. Asumsikan bahwa urutannya dibatasi$n = k$. Kemudian,\begin{align*} 0 \leq x_k &\leq 2 \\ \vdots \\ \text{lower bound } \leq x_{k + 1} &\leq \text{upper bound} \end{align*}
Saya terlempar oleh istilah itu $x_{n + 2}$ dalam rumus rekursif dan saya tidak bisa melihat aljabar untuk menghasilkan langkah-langkah di atas tanpa mendapatkan $x_{n + 2}$ dalam ekspresi batas atas / bawah.
Terima kasih.
Memperbarui:
Saya telah menambahkan ini untuk membuktikan:
Kita punya $0 \leq x_1 = 0 \leq 2$ dan $0 \leq x_2 = 0 \leq 2$. Asumsikan bahwa urutannya dibatasi$k+1$,
\begin{align*} 0 &\leq x_{k + 1} \leq 2 \\ 0 &\leq x_k + x_{k+1} \leq 4 \\ 0 &\leq x_k + \frac{1}{3} x_{k+1} \leq 4 \\ 0 &\leq \frac{1}{6} x_{k} + \frac{1}{3} x_{k+1} \leq 4 \\ 0 &\leq x_{k+2} \leq 4 \end{align*}
Oleh karena itu, dengan prinsip induksi matematika, urutannya dibatasi.
Apakah ini sah?
Jawaban
Perhatikan itu $x_1 = 0$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$, $x_4 = \frac{4}{3}$. Kita bisa buktikan dengan induksi itu$x_n <2$ untuk semua $n$. Misalkan ketidaksetaraan itu benar$x_1, x_2,\ldots, x_{n+1}$. Kemudian$$ x_{n + 2} = \frac{1}{3}x_{n + 1} + \frac{1}{6}x_n + 1 < \frac{2}{3} + \frac{2}{6} + 1 = 2. $$Sekarang kami menunjukkan bahwa urutannya meningkat secara monoton. Seandainya$x_1 \leq x_2 \leq x_3 \leq \ldots \leq x_{n+1}$ memegang beberapa $n\geq 2$. Kemudian$$ x_{n + 2} - x_{n + 1} = \frac{1}{3}(x_{n + 1} - x_n ) + \frac{1}{6}(x_n - x_{n - 1} ) \geq 0. $$ Jadi $x_n$dibatasi dari atas dan meningkat, oleh karena itu konvergen. Batasnya$x$ harus memuaskan $$ x = \frac{1}{3}x + \frac{1}{6}x + 1, $$ yaitu, kita harus memilikinya $x=2$.
Tidak, argumen Anda tidak valid. Anda tunjukkan itu
$$x_{k+1}\le 2\implies x_{k+2}\le 4.$$
Jika Anda menerapkan induksi, ini mengarah ke
$$x_{k+m}\le 2^{m+1}$$ yang tidak dibatasi.
Tapi Anda bisa menggunakan
$$x_k,x_{k+1}\le2\implies x_{k+2}=\frac{x_k}{3}+\frac{x_{k+1}}6+1\le\frac23+\frac26+1=2.$$
Untuk boundedness kita menggunakan Strong Induction, sepele yang urutannya positif. Kami ingin menunjukkan itu untuk semua$n \in \mathbb{N}$ kita punya $x_{n} < 2$
- Untuk k = 1 kita punya: $x_{1} = 0 < 2$
- Membiarkan $n \in \mathbb{N}$ dan anggaplah itu untuk semua $k \leq n$ kita punya: $x_{k} < 2$
- Kita punya: $x_{n-1} < 2$ dan $x_{n} < 2$
Kemudian: $\frac{1}{3}x_{n} + \frac{1}{6}x_{n-1} + 1 < \frac{2}{3} + \frac{2}{6} + 1$
Karenanya: $x_{n+1} < 2$
Untuk monoton, Mari gunakan lagi induksi untuk membuktikannya untuk semua $n \in \mathbb{N}$, $x_{n+1} \geq x_{n}$
- Untuk n = 1, jelaslah demikian $x_{2} = 0 \geq x_{1}$ sejak $x_{1} = 0$
- Membiarkan $n \geq 2$ dan anggaplah itu untuk semua $k \leq n$ kita punya: $x_{k+1} \geq x_{k}$
Kita punya: $x_{n} \geq x_{n-1}$ dan $x_{n+1} \geq x_{n}$
Karenanya: $\frac{1}{3}x_{n+1} + \frac{1}{6}x_{n} + 1 \geq \frac{1}{3}x_{n} + \frac{1}{6}x_{n-1} + 1$
Jadi: $x_{n+2} \geq x_{n+1}$
Kita menyimpulkan bahwa urutannya meningkat dan karenanya monoton, Dan karena dibatasi maka urutannya bertemu. Membiarkan$L$ menjadi batas urutan, lalu $L$ adalah solusi persamaan $x = \frac{1}{3}x + \frac{1}{6}x + 1$, yang memberikan itu $L = 2$