Metode Panas (Crane et Al) Bagaimana kita memilihmu?
Metode kalor adalah makalah yang sangat menarik untuk perhitungan jarak:
https://www.cs.cmu.edu/~kmcrane/Projects/HeatMethod/paperCACM.pdf
Ide di balik makalah ini adalah bahwa, panas bergerak di sepanjang permukaan suatu objek pada dasarnya dengan cara seperti geodesik. Jadi waktu yang dibutuhkan panas untuk bergerak dari titik panas ke titik mana pun di permukaan tidak dapat disamakan dengan jarak geodesik.
Makalah ini pertama-tama membahas kasus umum analitik dan kemudian menyarankan pendekatan diskritisasi. Yang membuat saya sangat bingung adalah penyebutan fungsi aliran panas$u$melintasi kertas. Pertimbangkan persamaan ini misalnya:
Itu adalah operator laplacian diskrit yang diterapkan $u$ atau $\Delta u$. Ada beberapa bagian lain di makalah yang menyebutkan$u$. Dari bacaan saya,$u$ tampaknya menjadi fungsi yang cocok yang mendekati aliran panas pada permukaan manifold?
Saya tidak benar-benar melihat persamaan formulir $u = \text{expression}$ saya juga tidak melihat deskripsi propertinya atau saran untuk barang $u$fungsi. apa yang$u$? Dimana$u$berasal dari? Dimana$u$Pergilah? Dimana$u$berasal dari? cotan, i, o?
Jawaban
Dari pembacaan saya, u tampaknya menjadi fungsi yang cocok yang mendekati aliran panas pada permukaan manifold?
$u$adalah fungsi yang menjelaskan bagaimana kuantitas Anda berperilaku / berkembang dalam bidang tertentu. Di kertas, kuantitasnya adalah suhu atau fluks panas, saya kira. Namun, seringkali tidak ada solusi / rumus analitik untuk$u$. Di sinilah metode seperti Elemen Hingga (FEM) berperan. Dengan mendiskritkan bidang Anda, Anda dapat memperkirakan fungsi Anda sedikit demi sedikit$u$.
Dalam kasus Anda, Anda akan menggunakan mesh Anda, yang sudah menjadi diskritisasi permukaan Anda. Elemen Anda adalah segitiga dan Anda perlu menentukan bagaimana kuantitas nodal diinterpolasi di dalam setiap segitiga. --- Di sini, interpolasi linier mungkin adalah cara yang tepat. Jika tidak, Anda perlu memperbarui geometri Anda atau memperkenalkan node tambahan untuk perkiraan tingkat yang lebih tinggi.
Kemudian Anda harus menetapkan nilai awal ke setiap Node / Vertex $u_0$seperti yang tertulis dalam jawaban gilgamec. Setelah itu, Anda membangun dan menyelesaikan sistem elemen hingga dan mendapatkan distribusi nodal$u$yang benar-benar menyelesaikan persamaan atau sistem persamaan Anda. Semakin halus mesh Anda, semakin baik solusinya. Interpolasi tingkat tinggi juga akan membantu dengan akurasi.
Begitu $u$atau nilai simpulnya adalah apa yang sebenarnya Anda cari seperti yang dikatakan bola lampu dalam komentarnya. Itu kuantitas Anda yang tidak diketahui.
Jika ini tidak membantu, Anda mungkin ingin membaca beberapa literatur tentang metode elemen hingga. Tidak tahu betapa bermanfaatnya tautan berikut, tetapi sekilas tampak menjanjikan. Anda akan melihat, yang mereka gunakan$u$seluruh tempat. Jadi saya harap salah satu dari mereka akan membantu Anda:
- Pengantar lembut tentang Metode Elemen Hingga
- Catatan Kursus Metode Elemen Hingga PE281
- Pengantar metode elemen hingga
- analisis elemen hingga dengan tangan
Saya juga memiliki tautan ke tutorial online yang bagus mirip dengan tautan terakhir yang saya berikan yang banyak membantu saya dalam memahami dasar-dasarnya. Jika saya menemukan tautannya, saya akan menambahkannya ke jawaban saya.
Menemukan tautan yang saya maksud. Sayangnya, ini dalam bahasa Jerman:
- FEM Handrechnung
Ya, lapangannya $u$dalam hal ini difusi panas yang diperkirakan melintasi permukaan. Ini ditemukan dengan memulai dengan "set awal" dari simpul; ini akan menjadi sumber difusi, dan berakhir sebagai minimum lokal di bidang jarak. Distribusi awal$u_0$sudah disiapkan, dengan nilai 1 pada set awal dan 0 di tempat lain. (Ini dijelaskan pada halaman 92 dari makalah yang Anda tautkan, langsung di bawah Algoritma 1.)
Langkah pertama dari algoritme adalah menjalankan satu langkah persamaan kalor dengan menyelesaikan persamaan linier $(I - t\nabla)u = u_0$(persamaan 3 di kertas). Lapangan$u$ Anda sampai di sana adalah perkiraan difusi panas yang Anda proses lebih lanjut untuk mendapatkan medan jarak.