Morfisme antara domain integral dan bidang bersifat injektif?

Question

Saya baru saja membaca dalam catatan aljabar linier saya pernyataan berikut: Misalkan A menjadi domain integral dan K sebuah field. Morfisme cincin bukan nol apa pun$\phi : A \to K$ bersifat suntik.

Menurut saya pernyataan ini salah dengan mempertimbangkan morfisme $$\phi : \mathbb Z \to \mathbb Z /2 \mathbb Z$$ $$n \to [n]$$ Ini adalah morfisme antara domain integral dan bidang tetapi jelas tidak injektif.

Jadi, apakah pernyataan itu salah? Saya cukup yakin dengan counterexample tetapi setiap kali saya tidak setuju dengan catatan guru saya, saya salah.

Answer 1

Kamu benar. Berikut dua kemungkinan pernyataan yang seharusnya:

1. Morfisme apa pun dari $K \to A$ bersifat injektif (karena kernel ideal dari $K$ dan satu-satunya cita-cita adalah $(0)$ dan $(1) = K$). Itu tidak terlalu penting$A$ adalah domain integral di sini selain untuk mengetahui itu $A \neq 0$. Jika$A$ itu $0$ kemudian $K \to 0$ bersifat non-injeksi.

2. Peta $A \to \operatorname{Frac}(A)$ bersifat suntik.