Norma ideal dalam tatanan

Aug 16 2020

Membiarkan $\overline{T}$ menjadi cincin Dedekind sedemikian rupa $\overline{T}/\overline{I}$ terbatas untuk setiap ideal bukan nol $\overline{I}$ dari $\overline{T}$. Membiarkan$T$ menjadi subring dari $\overline{T}$ dengan total cincin pecahan yang sama (yaitu urutan).

Membiarkan $I$ menjadi cita-cita $T$ dan biarkan $\overline{I} = I\overline{T}$. The norma $N_T(I)$ dari $I$ didefinisikan sebagai kardinalitas $T/I$.

Pertanyaan: Apakah ada rumus yang berkaitan$N_T(I)$ dan $N_{\overline{T}}(\overline{I})$?

Misalnya, tampaknya masuk akal bahwa perbedaan tersebut diukur oleh beberapa kelompok "tor".

Catatan:

Jika $I$ bersifat proyektif $N_T(I)$ dan $N_{\overline{T}}(\overline{I})$ adalah sama.
Pelokalan mengurangi masalah menjadi kasus ketika $T$ bersifat lokal (dan $\overline{T}$ bersifat semi-lokal), dan keduanya $I$ dan konduktor $T$ adalah cita-cita yang tepat.
(Terima kasih kepada Luc Guyot) Jika $T$adalah cincin Bass ($\leftrightarrow$ setiap cincin perantara $T \subset R \subset \overline{T}$ adalah Gorenstein $\leftrightarrow$ setiap ideal dihasilkan oleh dua elemen), dan $T = \{a \in \overline{T} : a I \subset I \}$, lalu oleh [2, Proposition 5.8] $I$bersifat proyektif. Ini mengikuti itu$N_T(I)$ dan $N_{\overline{T}}(\overline{I})$ sama (dengan komentar pertama).
(generalisasi dari komentar ketiga) jika $T$adalah domain integral Gorenstein dan$T = \{a \in \overline{T} : a I \subset I \}$, kemudian $I$bersifat proyektif. Ini mengikuti dari penggabungan Teorema 6.2 (4) dengan Proposisi 7.2 dari [1]. Ini mengikuti itu$N_T(I)$ dan $N_{\overline{T}}(\overline{I})$ sama (dengan komentar pertama).

[1] H. Bass, "Di mana-mana cincin Gorenstein", 1963.

[2] L. Levy dan R. Wiegand, "Perilaku cincin seperti Dedekind dengan 2 cita-cita yang dihasilkan", 1985.

Jawaban

4 LucGuyot Aug 18 2020 at 07:46

Saya akan mulai dengan pernyataan umum yang akan diilustrasikan dengan komputasi dalam urutan acak bidang bilangan kuadrat.

Jika $\overline{I}$ kontrak untuk $I$, yaitu jika $\overline{I} \cap R = I$, lalu penyertaan $R \rightarrow \overline{R}$ menginduksi suntikan $R$-module homomorphism $R/I \rightarrow \overline{R}/\overline{I}$. Hasil dari,$N_R(I)$ membagi $N_{\overline{R}}(\overline{I})$ dan khususnya yang kami miliki $N_R(I) \le N_{\overline{R}}(\overline{I})$. Jika misalnya$I$ adalah ideal utama, lalu $N_R(I)$ membagi $N_{\overline{R}}(\overline{I})$.

Pertanyaan mendasar yang gagal saya jawab adalah:

Pertanyaan. Apakah selalu benar itu$N_R(I)$ membagi $N_{\overline{R}}(\overline{I})$, atau setidaknya itu $N_R(I) \le N_{\overline{R}}(\overline{I})$?

Edit. Jawaban OP mengandung bukti itu$N_R(I) \le N_{\overline{R}}(\overline{I})$ berlaku untuk setiap cita-cita bukan-nol dari $R$.

Saya tidak akan menjawab pertanyaan di atas. Sebagai gantinya, saya akan memperkenalkan kondisi pada$R$ di bawahnya $N_R(I)$ membagi $N_{\overline{R}}(\overline{I})$ untuk setiap ideal bukan-nol $I$ dari $R$.

Dalil. Jika ideal bukan nol$I$ dari $R$ bersifat proyektif di atas lingkaran pengganda $\varrho(I) \Doteq \{ r \in \overline{R} \, \vert \, rI \subseteq I\}$, maka kita punya $$ N_{\overline{R}}(\overline{I}) = N_R(I) \vert \varrho(I)/R \vert. $$

Catatan samping. bahwa$\varrho(I) = \{ r \in K \, \vert \, rI \subseteq I\}$ dimana $K$ menunjukkan bidang pecahan dari $R$, sejak $R$ adalah Noetherian.

Lemma 1 (Klaim OP) . Jika$I$ adalah cita-cita yang dapat dibalik $R$ kemudian $N_{\overline{R}}(\overline{I}) = N_R(I)$.

Bukti. Pertama, buktikan pernyataan untuk prinsip ideal bukan-nol$I$. Kemudian dekomposisi file$R$-modul dengan panjang terbatas $\overline{R}/\overline{I}$ sebagai jumlah langsung dari lokalisasinya sehubungan dengan cita-cita maksimal $R$[4, Teorema 2.13]. Lakukan hal yang sama untuk$R/I$ dan bandingkan kardinalitas dari ringkasan.

Bukti Proposisi. Dengan Lemma 1, kami punya$N_{\overline{R}}(\overline{I}) = N_{\varrho(I)}(I)$. Karenanya$N_{\overline{R}}(\overline{I}) = [\varrho(I) : R][R: I] = \vert \varrho(I)/R\vert N_R(I)$.

Perhatikan bahwa jika $R$ adalah urutan yang cita-citanya dihasilkan dua (misalnya, urutan dalam bidang kuadrat atau urutan yang diskriminannya bebas pangkat empat [2, Teorema 3.6]), maka setiap ideal bukan-nol dari $R$memenuhi hipotesis proposisi di atas, lihat misalnya, [1], [2] dan Teorema 4.1, Kerugian 4.3 dan 4.4 dari catatan Keith Conrad . Hasil yang sama dibahas OP dalam sambutannya dan jawabannya.

Membiarkan $m$menjadi bilangan bulat rasional bebas persegi. Kami mengatur$K \Doteq \mathbb{Q}(\sqrt{m})$ dan dilambangkan dengan $\mathcal{O}(K)$ cincin bilangan bulat dari bidang kuadrat $K$.

Klaim Longgar. Diberikan perintah$R$ dari $K$ dan cita-cita $I \subseteq R$, kami akan menghitung $N_{\mathcal{O}(K)}(I\mathcal{O}(K))$ sebagai fungsi dari $N_R(I)$ dan dari bentuk kuadrat biner yang terkait dengan $I$.

Untuk melakukannya, kami memperkenalkan beberapa notasi dan definisi.

Pengaturan $$\omega = \left\{ \begin{array}{cc} \sqrt{m} & \text{ if } m \not\equiv 1 \mod 4, \\ \frac{1 + \sqrt{m}}{2} & \text{ if } m \equiv 1 \mod 4, \\ \end{array}\right. $$ kita punya $$\mathcal{O}(K) = \mathbb{Z} + \mathbb{Z} \omega$$ dan urutan apa pun $K$ adalah dari bentuknya $\mathcal{O}_f(K) \Doteq \mathbb{Z} + \mathbb{Z} f \omega$ untuk beberapa bilangan bulat rasional $f > 0$[2, Lemma 6.1]. Apalagi penyertaannya$\mathcal{O}_f(K) \subseteq \mathcal{O}_{f'}(K)$ berlaku jika dan hanya jika $f'$ membagi $f$. Jika$I$ adalah cita-cita $\mathcal{O}_f(K)$, lalu cincin pengganda nya $\varrho(I) \Doteq \{ r \in \mathcal{O}(K) \, \vert \, rI \subseteq I\}$ adalah urutan terkecil $\mathcal{O}$ dari $K$ seperti yang $I$ bersifat proyektif, sama-sama dapat dibalik, sebagai cita-cita $\mathcal{O}$[2, Proposisi 5.8]. Mari kita perbaiki$f > 0$ dan set $$R \Doteq \mathcal{O}_f(K), \quad \overline{R} \Doteq \mathcal{O}(K).$$

Cita-cita $I$ dari $R$dikatakan primitif jika tidak dapat ditulis sebagai$I = eJ$ beberapa bilangan bulat rasional $e$ dan beberapa ideal $J$ dari $R$.

Alat utama adalah Lemma Dasar Standar [5, Lemma 6.2 dan buktinya].

Lemma 2. Biarkan$I$ menjadi ideal bukan-nol dari $R$. Lalu ada bilangan bulat rasional$a, e > 0$ dan $d \ge 0$ seperti yang $-a/2 \le d < a/2$, $e$ membagi keduanya $a$ dan $d$ dan kita mempunyai $$ I = \mathbb{Z} a + \mathbb{Z}(d + e f \omega). $$ Bilangan bulat $a, d$ dan $e$ ditentukan secara unik oleh $I$. Kita punya$\mathbb{Z}a = I \cap \mathbb{Z}$ dan integer $ae$ sama dengan norma $N_R(I) = \vert R /I \vert$ dari $I$. Ideal$I$ primitif jika dan hanya jika $e = 1$.

Perhatikan itu, sejak $\mathbb{Z}a = I \cap \mathbb{Z}$, bilangan bulat rasional $a$ membagi $N_{K/\mathbb{Q}}(d + e f \omega)$. Kami menyebutnya pasangan pembangkit$(a, d + ef \omega)$yang secara standar$I$. Mari kita bergaul dengan$I$ bentuk kuadrat biner $q_I$ didefinisikan oleh $$q_I(x, y) = \frac{N_{K/\mathbb{Q}}(xa + y(d + ef\omega))}{N_R(I)}.$$

Lalu kita punya $$eq_I(x, y) = ax^2 + bxy + cy^2$$ dengan $$b = Tr_{K/\mathbb{Q}}(d + ef \omega) \text { and } c = \frac{N_{K/\mathbb{Q}}(d + ef \omega)}{a}.$$Kami mendefinisikan konten$c(q_I)$ dari $q_I$ sebagai pembagi persekutuan terbesar dari koefisiennya, yaitu $$c(q_I) \Doteq \frac{\gcd(a, b, c)}{e}.$$

Ucapan. Kita punya$c(q_I) = \frac{\gcd(a, d, ef)}{e} = \frac{f}{f'} = \vert \varrho(I) / R \vert$ dimana $f'$ adalah pembagi dari $f$ seperti yang $\varrho(I) = \mathcal{O}_{f'}$.

Klaim. Membiarkan$I$ menjadi ideal bukan-nol dari $R$. Lalu kita punya$$N_{\overline{R}}(\overline{I}) = N_R(I) \vert \varrho(I)/R \vert \text{ with } \vert \varrho(I)/R \vert = c(q_I).$$

Bukti. Sejak$N_R(xI) = N_R(Rx) N_R(I)$ dan $N_R(Rx) = N_{\overline{R}}(\overline{R}x) = \vert N_{K/\mathbb{Q}}(x) \vert$ untuk setiap $x \in R \setminus \{0\}$, kita dapat berasumsi, tanpa kehilangan keumuman, bahwa $I$ primitif, yaitu $e = 1$. Ini segera mengikuti dari definisi itu$$\overline{I} = \overline{R} I = \mathbb{Z}a + \mathbb{Z}a \omega + \mathbb{Z}(d + f \omega) + \mathbb{Z}v$$ dimana
$$v = \left\{ \begin{array}{cc} f \omega^2 + d \omega & \text{ if } m \not\equiv 1 \mod 4, \\ f \frac{m - 1}{4} + (d + f) \omega & \text{ if } m \equiv 1 \mod 4. \\ \end{array}\right.$$Sekarang sudah cukup untuk menghitung Bentuk Normal Smith $\begin{pmatrix} d_1 & 0 \\ 0 & d_2 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ dari matriks $A \Doteq \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & a \\ d & f \\ v_1 & v_2 \end{pmatrix}$ dimana $(v_1, v_2)$ adalah matriks dari $v$ sehubungan dengan $\mathbb{Z}$-dasar $(1, \omega)$ dari $\overline{R}$. Koefisien$d_1$ adalah pembagi persekutuan terbesar dari koefisien $A$ dan mudah dilihat $\gcd(a, d, f) = \gcd(a, b, c)$. Koefisien$d_2$ adalah pembagi persekutuan terbesar dari $2 \times 2$ anak di bawah umur $A$ dibagi dengan $d_1$ dan mudah dilihat $\frac{a \gcd(c(q_I), q_I(0, 1))}{d_1} = \frac{a c(q_I)}{d_1}$. Jadi$N_{\overline{R}}(\overline{I}) = d_1 d_2$ memiliki bentuk yang diinginkan.

[1] J. Sally dan W. Vasconcelos, "Stable rings", 1974.
[2] C. Greither, "On the two generator problem for the ideal of one-dimensional ring", 1982.
[3] L. Levy dan R. Wiegand, "Perilaku berdering seperti Dedekind$2$
-generated idealals ", 1985. [4] D. Eisenbud," Commutative algreba with a view to algebraic geometry ", 1995.
[5] T. Ibukiyama dan M. Kaneko," Quadratic Forms and Ideal Theory of Quadratic Fields ", 2014 .

2 AWO Aug 21 2020 at 05:32

Saya merekam untuk kepentingan orang lain apa yang menurut pengetahuan saya sepenuhnya tentang apa yang diketahui tentang masalah umum. Luc Guyot telah memberikan jawaban yang bagus dan eksplisit untuk kasus pesanan kuadrat.

Saya tidak menandai posting ini sebagai "jawaban" karena pertanyaan asli belum dijawab.

Biarkan perbedaan a$T$-ideal $I$ didefinisikan sebagai $ds(I) = N_{\overline{T}}(\overline{I})/N_T(I)$ (definisi non-standar).

Kapan $ds(I) = 1$?

Teorema berikut adalah alat utama kertas [1]. Pernyataan tersebut menggunakan notasi indeks modul [2].

Teorema [1; Teorema 1]:

$[\overline{T}:\overline{I}] \subset [T:I]$.
$[\overline{T}:\overline{I^{-1}}] \subset [I:T]$.
$[{T}:{I^{-1}}] \subset [\overline{I}:\overline{T}]$.

Selain itu, berikut ini setara:

Setiap subset relasi antara (1), (2), (3) adalah kesetaraan.
Semua hubungan subset antara (1), (2), (3) adalah persamaan.
$I$ bisa dibalik.

Teorema ini memiliki konsekuensi berikut untuk "ketidaksesuaian". Ingat bahwa berbeda dari$T$ didefinisikan sebagai $\mathfrak D_{T} = (T^\vee)^{-1}$ dimana $T^\vee$ adalah ganda dari $T$ untuk bentuk jejak.

Akibat wajar :$ds(I) \geq 1$ dengan kesetaraan jika dan hanya jika $I$ bisa dibalik.

Akibat wajar : Berikut ini adalah padanan:

Perbedaan $\mathfrak D_{T}$ aku s $1$.
Untuk setiap cita-cita $I$ dari $T$, $ds(I) = 1$ jika dan hanya jika $T = (I:I)$.
$T$ adalah Gorenstein.

Segala sesuatu dalam akibat wajar ini segera mengikuti dari teorema kecuali poin kedua dari akibat wajar kedua yang mengikuti dari persamaan terkenal. $T=(I:I) \iff I \text{ invertible}$ kapan $T$ adalah Gorenstein (cf. eg [3; Proposition 5.8] or [4; Proposition 2.7]).

Kasus kuadrat

[Mengikuti notasi dalam jawaban Luc Guyot]

Dengan menggunakan akibat wajar di atas, kami meninjau kembali kasus kuadrat. Perbedaan tersebut tidak berubah di bawah homotheties dan karenanya kita dapat mengasumsikan yang ideal$I$ primitif ($e = 1$). Oleh [5; Lemma 6.5], yang ideal$I$ memuaskan $R = (I:I)$ jika dan hanya jika $\gcd(a,b,c) = 1$. Memang, rumus ketidaksesuaian dalam jawaban Luc Guyot justru$\gcd(a,b,c)$. (Dengan komentar dalam jawaban Luc Guyot, kami bahkan melakukannya$ds(I) = f/f'$ dimana $f$ adalah konduktor dari $T$ dan $f'$ adalah konduktor dari $(I:I)$.) Jadi rumusnya $ds(I) = c(q_I)$ konsisten dengan akibat wajar kedua.

Batas atas

Kami akan menurunkan batas atas untuk $ds(I)$ yang independen $I$. Saya berasumsi bahwa$T$adalah domain untuk kesederhanaan. Kita mungkin mengira begitu$T \neq \overline{T}$ dan set $S = \overline{T}$. Membiarkan$\mathfrak f$ menunjukkan konduktor dari $T$.

Batas atas : Untuk ideal pecahan-T apa pun$I$, $ds(I) \leq |S/T||S/\mathfrak f|.$

Dua $T$ideal -fraksional berada dalam genus yang sama jika mereka isomorfik secara lokal; secara ekuivalen, terdapat T-ideal yang dapat dibalik yang mengalikan satu ideal ke ideal lainnya.

Klaim : Apa saja$T$ideal -fraksional $I$ berada dalam genus yang sama dengan a $T$ideal -fraksional $J$ seperti yang $\mathfrak f \subset J \subset S.$

Bukti: Biarkan $P$ menjadi cita-cita utama $T$ dan biarkan $S_P$ menunjukkan penutupan integral dari $T$(penutupan perjalanan integral dengan pelokalan). Itu sudah cukup untuk membangun a$T_P$-fraksional ideal yang isomorfik $I_P$ seperti yang $\mathfrak f_P \subset J_P \subset T_P$ di mana subskrip menunjukkan tensoring dengan $T_P$. $S_P$adalah produk terbatas cincin Dedekind lokal sehingga merupakan PID. Karenanya$I_PS_P = \alpha S_P$ untuk beberapa $\alpha$ di $Quot(T)$. Membiarkan$J_P = \alpha^{-1}I_P$. Kemudian$J_P \subset S_P$, tetapi juga $$J_P \supset J_P \mathfrak f_P = J_P S_P \mathfrak f_P = \mathfrak f_P.$$

Klaim : Perbedaan tersebut$ds(I)$ konstan pada genera.

Bukti: Ini dibuktikan dengan melokalkan dan menggunakan cita-cita yang dapat dibalik itu $T$ adalah prinsipal lokal (fakta terakhir ini mengikuti [5; Proposisi 2.3]).

Menyatukan klaim ini, kami memilikinya untuk itu $I$ apa saja $T$-fraksional ideal, $ds(I) = ds(J)$ untuk beberapa $T$ideal -fraksional $J$ seperti yang $\mathfrak f \subset J \subset S$. Dari [1; Teorema 1],$|T/J| \leq |S/SJ|$. Kami juga punya$S\mathfrak f = \mathfrak f \subset SJ \subset S$, sehingga $|S/SJ| \leq |S/\mathfrak f|$. Menulis$M' = M/\mathfrak f$ untuk setiap modul yang berisi $\mathfrak f$. Menyatukan ketidaksetaraan yang kita miliki

$$ds(I) = |S/SJ|/|T/J| \leq |S/\mathfrak f|/ |T/J| = |S'|/(|T'|/|J'|) = |S/T| |J/\mathfrak f| .$$

Istilah terakhir dibatasi dari atas oleh $|S/T| |S/\mathfrak f|$.

Kesimpulan

Fungsi perbedaan memenuhi ketidaksetaraan, $1 \leq ds(I) \leq |\overline{T}/T||\overline{T}/\mathfrak f|$, untuk apa saja $T$ideal -fraksional $I$, dan mengakui rumus eksplisit dan alami dalam hal konduktor dalam kasus kuadrat. Namun tampaknya tidak diketahui apakah fungsi perbedaan dapat diberikan "bentuk tertutup" secara umum (misalnya, ekspresi dalam istilah konduktor$T$, para pembeda atau diskriminan $T$ dan $\overline{T}$, Kelompok Ext atau Tor berakhir $T$ atau $\overline{T}$).