$\oint_{\gamma}(2z-3\bar z+1)\,dz$ dimana $\gamma$ adalah elips $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1$

Question

$\oint_{\gamma}(2z-3\bar z+1)\,dz$ dimana konturnya $\gamma$ adalah elips $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1$ dilintasi searah jarum jam.

Kesulitan saya adalah bagaimana menerjemahkan rumus elips ke jalur analitis. untuk lingkaran itu mudah ($e^{zi}$), tapi saya tidak tahu cara melakukannya untuk elips.

Answer 1

$$ z(t) = 2 \cos t + i3 \sin t$$

Penjelasan:

$$ z(t) = x(t) + i y(t)$$

Sekarang, untuk elips untuk parameterisasi trignomeetrik: $x=2 \cos t$ $y=3 \sin t$, hubungkan hal yang sama itu ke fungsi kompleks di $t$

Answer 2

Lupakan parameterisasi eksplisit $\gamma$, gunakan saja teorema Stoke . Secara khusus, gunakan versi yang dinyatakan dalam koordinat kompleks.

Membiarkan $E$ menjadi elips yang dibatasi oleh $\gamma$. Sejak$\gamma$ berjalan-jalan $E$ searah jarum jam, itu adalah "negatif" untuk orientasi $\partial E$, batas elips. Terapkan teorema Stoke dalam koordinat kompleks, kita punya

$$\int_\gamma (2z - 3\bar{z} +1 ) dz = \int_{-\partial E}(2z - 3\bar{z} + 1) dz = -\int_E d(2z - 3\bar{z} + 1) \wedge dz\\ = 3\int_E d\bar{z} \wedge dz = 6i \int_E \frac{d\bar{z}\wedge dz}{2i}$$ Dalam hal koordinat Kartesius,

$$\frac{d\bar{z}\wedge dz}{2i} = \frac{d(x-iy) \wedge d(x+iy)}{2i} = dx \wedge dy$$hanyalah elemen area. Sejak elips$E$ memiliki sumbu semi-mayor / minor $3$ dan $2$, kita punya:

$$\int_\gamma (2z - 3\bar{z} +1 ) dz = 6i\verb/Area/(E) = 6i(6\pi) = 36\pi i$$

Sebagai perbandingan, mari kita ulang perhitungan dalam coordiantes Cartesian.

Kita bisa parametrize $E$ sebagai

$$[0,2\pi] \ni \theta\quad\mapsto\quad (x,y) = (2\cos\theta,\color{red}{-}3\sin\theta) \in \mathbb{R}^2 \sim \mathbb{C}$$

Sejak $\gamma$ berjalan-jalan $E$ searah jarum jam, tanda di depan $\sin\theta$negatif, bukan positif. Masukkan ini ke integral asli, jadilah

$$\begin{align} &\int_0^{2\pi} (2(2\cos\theta - 3\sin\theta i) - 3(2\cos\theta + 3\sin\theta i) + 1)(-2\sin\theta - 3\cos\theta i) d\theta\\ = &\int_0^{2\pi} -(2 + 41\cos\theta)\sin\theta + (30\sin^2\theta + 6\cos^2\theta - 3\cos\theta)i d\theta\end{align}$$ Membuang istilah yang jelas-jelas tidak berkontribusi, kami mengerti

$$\begin{align}\int_\gamma(2z - 3\bar{z} +1 )dz &= i\int_0^{2\pi}(30\sin^2\theta + 6\cos^2\theta)d\theta\\ &= i(30\pi + 6\pi) = 36\pi i\end{align} $$ Nomor yang sama $36\pi i$ kami dapatkan sebelumnya.