Pada batas yang melibatkan transformasi polinomial kromatik
Saya bermain-main dengan polinomial berwarna (di sini dilambangkan dengan $\chi_G(x)$) dan saya telah membuat dugaan berikut.
Membiarkan $(G_n)_{n \ge 1}$ menjadi urutan grafik dengan $v(G_n) \to \infty$ ($v(G_n)$ menunjukkan jumlah simpul dari $G_n$) dan $e(G_n) \to \infty$ ($e(G_n)$ menunjukkan jumlah tepi $G_n$).
Untuk setiap $x \neq 0$, mari kita tentukan transformasi polinomial kromatik berikut ini $G_n$ $$ \psi_{G_n}(x) = \frac{x^{v(G_n)}}{e(G_n)^{v(G_n)}} \chi_{G_n}\left( \frac{e(G_n)}{x} \right). $$
Dugaannya adalah untuk setiap bilangan real tetap $x \neq 0$, kita punya $\psi_{G_n}(x) \to \exp(-x)$ sebagai $n$ pergi ke tak terbatas.
Saya telah memeriksa dugaan untuk beberapa urutan grafik: misalnya, $G_n$ menjadi grafik lengkap $K_n$, untuk $G_n$ menjadi pohon $n$ simpul dan untuk $G_n$ menjadi kumpulan dari $n$ tepi independen (pencocokan pada $2n$ sudut).
Adakah yang tahu jika ini terkenal?
PS: Saya kurang yakin kalau kondisinya menyala $v(G_n)$ dan $e(G_n)$adalah orang yang benar. Setiap komentar tentang ini juga diterima.
Jawaban
Berikut adalah argumen heuristik yang mungkin dapat dibuat lebih ketat oleh seseorang. saya menulis$v_n=v(G_n)$ dan $e_n=e(G_n)$. Membiarkan$$ \chi_{G_n}(x) = x^{v_n}-c_{n,v_n-1} x^{v_n-1}+c_{n,v_n-2}x^{v_n-2}-\cdots. $$ Saya mengklaim itu untuk diperbaiki $k\geq 0$, $$ \lim_{n\to\infty} \frac{c_{n,v_n-k}}{e_n^k} = \frac{1}{k!}. $$ Hal ini dapat dibuktikan dengan mencatat bahwa (dengan Teorema Sirkuit Rusak, misalnya, yang menunjukkan hal itu $c_{n,v_n-k}$ meningkat saat kita menambahkan lebih banyak tepi $G_n$) $c_{n,v_n-k}$ dibatasi di bawah oleh nilainya ketika $G_n$ adalah pohon, dan dibatasi di atasnya oleh nilainya when $G_n$adalah grafik lengkap. Hasil yang diklaim mudah diverifikasi untuk pohon dan grafik lengkap (dalam kasus terakhir, menggunakan asimtotik yang dikenal untuk bilangan Stirling jenis pertama). Mungkin ada bukti yang lebih langsung, tetapi bagaimanapun, jika kita tidak khawatir tentang pembenaran pertukaran batas dan penjumlahan, kita mendapatkan$$ \lim_{n\to\infty} \frac{x^{v_n}}{e_n^{v_n}}\chi_{G_n}\left( \frac{e_n}{x}\right) = \sum_{k\geq 0} \lim_{n\to\infty} \frac{(-1)^k c_{n,v_n-k}x^k}{e_n^k} $$ $$ \qquad = \sum_{k\geq 0} \frac{(-1)^k x^k}{k!} = \exp(-x). $$