Parameter distribusi beta

Question

Di sini saya menemukan pertanyaan tentang parameter negatif dari distribusi beta. Di bawah ini adalah tautan untuk pertanyaan itu: Parameter negatif dari distribusi beta

Ada komentar dimana $A$ parameter = $\frac{m(m−2m^2+m^3−v+mv)}{(m−1)v}$ , dan $B$ parameter = $\frac{m−2m^2+m^3−v+mv}{v}$

Dapatkah saya bertanya bagaimana sampai pada persamaan ini atau setidaknya referensi dari ini? Saya mencoba menjelaskan parameter a dan b yang ditemukan di Wikipedia tetapi sampai pada jawaban yang sedikit berbeda dibandingkan dengan komentar tersebut (Parameter di Wikipedia harus dikalikan dengan -1 untuk mendapatkan jawaban yang sama).

Terima kasih banyak atas bantuannya.

Answer 1

Ini mungkin curang, tetapi Anda dapat membiarkan Wolfram Alpha menyelesaikan persamaan untuk Anda.

Menurut Wolfram Alpha, jawaban nontrivial adalah \begin{align*} \alpha &= \frac{m}{v}\big(-m^2 + m - v\big) \\ \beta &=\frac{1}{v}\big(m^3 - 2 m^2 + mv + m - v\big) \end{align*} asumsi $m \neq 0$, $v \neq 0$ dan $m^3 - 2m^2 + m v + m - v\neq0$.

Inilah persamaan yang dihasilkan pada grid yang sama-jauhnya $[0,1]^2$ untuk $(m,v)$:

Persamaan untuk varians dapat ditulis lebih ringkas sebagai $$ \beta = \frac{(1-m)[m(1-m)-v]}{v} = \frac{(1-m)}{m}\alpha. $$

---

Kita bisa bertanya kombinasi apa $(m,v) \in [0,1]^2$mengarah ke parameter yang valid untuk distribusi Beta. Untuk ini, kita perlu memilikinya$\alpha$ dan $\beta > 0$. Kedua kondisi ini terpenuhi jika dan hanya jika\begin{align*} v < m(1-m) \end{align*} menunjukkan bahwa ini adalah satu-satunya syarat yang dibutuhkan $m \in (0,1)$.