Pemahaman Intuitif tentang Bagaimana Garis Paralel Bertemu dalam Geometri Proyektif
Saya menonton kuliah tentang Topologi, di mana disebutkan bahwa dalam Garis Paralel Geometri Proyektif Bertemu . Saya tertarik pada gagasan intuitif tentang bagaimana hal itu mungkin. Apakah dalam geometri proyektif apakah kita membuat asumsi bahwa pada tak terhingga garis-garis paralel bertemu seperti kita membuat asumsi bahwa setiap deret yang menyimpang hingga tak terhingga adalah sama pada tak terhingga?
Jawaban
Karena Anda meminta ide intuitif tentang bagaimana garis paralel bisa bertemu, pertimbangkan pengamatan umum bahwa rel kereta api (yang paralel) bertemu di cakrawala. Anda tahu, tentu saja, bumi bukanlah pesawat, dan teleskop yang kuat akan menunjukkan bahwa mereka tidak benar-benar bertemu. Tetapi anggaplah bahwa bumi adalah bidang datar tanpa batas. Apakah trek bertemu di cakrawala atau tidak?
Dalam geometri proyektif, transformasi yang diperbolehkan disebut transformasi proyektif . Mereka adalah bijections dari bidang yang memetakan garis ke garis. Empat titik non-collinear yang memetakan ke empat titik non-collinear lainnya secara unik menentukan transformasi proyektif. Jika Anda bermain dengan transformasi proyektif, Anda akan melihat bahwa mereka merasa seperti perubahan dalam perspektif.
Kembali ke rel kereta api pada bidang yang tidak terbatas, pertimbangkan perspektif A, yang melihatnya dari atas, dan perspektif B, yang melihatnya berkumpul di cakrawala (garis $h$). Ada transformasi proyektif$T$ yang membawa perspektif A ke perspektif B. Tapi pertimbangkan $T^{-1}$, yang membutuhkan $B$ untuk $A$. Sejak garis pergi ke garis, apa itu$T^{-1}(h)$? Karena cakrawala berada "di tak terhingga",$T^{-1}(h)$tidak bisa menjadi garis yang terbatas. Ini adalah "garis tanpa batas"$l_{\infty}$, yaitu garis yang terdiri dari "titik-titik di titik tak terhingga", yang pada gilirannya dapat dianggap sebagai arah (misalkan Anda memiliki dua jalur kereta api yang menuju ke arah yang berbeda. Mereka akan bertemu di berbagai titik di cakrawala). Selanjutnya,$T(l_{\infty})=h$, jadi $T$ adalah cara pandang $l_{\infty}$ sebagai garis yang terlihat.
Menambahkan garis $l_{\infty}$ ke pesawat sedikit seperti menambahkan $i=\sqrt{-1}$ untuk $\mathbb R$untuk mendapatkan bilangan kompleks. Dalam kedua kasus kami menambahkan sesuatu yang menurut kami imajiner dan tidak berwujud, tetapi sebagai gantinya kami mendapatkan kerangka kerja matematika yang lebih konsisten dan lengkap.
Jadi ya, dalam geometri proyektif, rel kereta api (seperti yang terlihat dari atas sebagai garis paralel) bertemu pada satu titik di atas $l_{\infty}$. Dan itulah mengapa dalam geometri proyektif tidak ada konsep "paralel".
Jawab pertanyaan dalam komentar (Tapi secara inheren atau sebenarnya garis-garisnya masih sejajar kan?): Pola pikir geometri proyektif adalah bahwa itu hanya garis dan titik. Tidak ada info metrik seperti jarak dan sudut. Di sisi lain, kami cenderung menggunakan bidang Euclidean sebagai model awal untuk membantu kami memvisualisasikan berbagai hal. Itu berguna, tetapi kita harus melepaskan pengertian metrik kita, dan pernyataan "garis sejajar tidak pernah bertemu" tidak lagi benar karena telah digantikan oleh aksioma "dua garis bertemu di satu titik". Jadi pesawat Euclidean adalah semacam roda pelatihan untuk menggambarkan apa yang sedang terjadi. Analogi dengan bilangan imajiner hanya sugestif di sini, karena "i" mengembang R ke C, tetapi dengan geometri proyektif "garis sejajar tidak bertemu" diganti dengan "dua garis berbeda bertemu". Anda bisa pergi ke arah lain dan mulai dengan bidang proyektif dan dengan mengutak-atik hal-hal mendapatkan bidang euclidean. Aksioma paralel juga diganti dalam geometri hiperbolik tetapi dengan cara yang berbeda, dan orang-orang seperti Gauss terkenal bertanya-tanya apakah aksioma paralel itu "benar dalam kenyataan" (seperti, di dunia nyata) tetapi menyimpan pikirannya untuk dirinya sendiri karena terlalu kontroversial . Dan dalam geometri bola, dua garis (didefinisikan sebagai lingkaran besar) selalu bertemu.
Tapi, untuk pertanyaan Anda, jika Anda ingin bermain sesuai aturan permainan, Anda tidak mengatakan bahwa dua garis itu paralel, Anda mengatakan mereka bertemu di $l_{\infty}$. Dan tidak ada yang istimewa tentang$l_{\infty}$. Faktanya, jika Anda memiliki teorema tentang garis sejajar, Anda bisa sering mendapatkan teorema baru secara gratis dengan menerapkan transformasi proyektif dan mengganti "garis sejajar" dengan "garis yang bertemu pada garis tertentu (seperti$h$) ". Anda masih dapat bersikeras bahwa garis-garis itu sejajar, tetapi pada saat itu Anda melangkah keluar batas dan mengatakan sesuatu tentang model geometri proyektif tertentu.
dalam geometri proyektif, garis sejajar bertemu
Merupakan pernyataan oxymoronic.
Ini lebih akurat untuk dikatakan
dalam geometri proyektif, tidak ada dua garis berbeda yang sejajar
Cara pernyataan oxymoronic muncul seperti ini: dari bidang affine apa pun (seperti bidang Euclidean, di mana satu garis memiliki banyak rekan paralel yang tak terhitung jumlahnya) Anda dapat menambahkan titik, yang membentuk satu baris baru, dan memperluas hubungan insiden untuk membuat bidang proyektif mengandung bidang affine itu.
Untuk setiap kelas ekivalen, Anda mendeklarasikan sebuah titik baru, yang disebut titik ideal, terkait dengan kelas tersebut. Semua garis di kelas "diperpanjang" dengan satu poin, dan mereka semua berbagi poin yang sama.