Pengambilan sampel independen dari variabel acak terikat

Aug 16 2020

Membiarkan $x_1, \ldots, x_n$menjadi variabel acak tergantung , masing-masing mengambil nilai$x_i \in \{0, 1, 2\}$. Anggaplah lebih lanjut bahwa dalam setiap hasil jumlah variabel acak yang sama dengan 2 adalah 1. Sekarang untuk masing-masing$i \in \{1, \ldots, n\}$ menetapkan $$ f_i = \begin{cases} \Pr[x_i = 2 \mid x_i \geq 1] & \text{if } x_i \geq 1\\ 0 & \text{if } x_i =0 \end{cases}, $$ dan untuk masing-masing $i \in \{1, \ldots, n\}$ membiarkan $y_i$ menjadi variabel acak Bernoulli yaitu 1 independen dengan probabilitas $f_i$ dan 0 sebaliknya.

Apakah dugaan berikut ini benar atau apakah ada distribusi pada $x_i$menyangkalnya?

Dugaan: Ada yang tetap$\epsilon > 0$ (yaitu $\epsilon$ menjadi independen dari $n$) sedemikian rupa sehingga dengan probabilitas setidaknya $\epsilon$, hanya ada satu indeks $i$ dimana $y_i = 1$.

Pertanyaan terkait: Batasan varians jumlah variabel acak dependen

Jawaban

2 RonP Aug 17 2020 at 13:15

Jawabannya adalah "tidak" (jika saya memahami pertanyaannya dengan benar).

Pertimbangkan distribusi joint exchangeeble berikut dari $x_i$s. Dalam acara$A$, yang terjadi dengan probabilitas $1/\sqrt n$, semua $x_i$s adalah 1, kecuali satu 2. Dalam acara pelengkap $B$, semua $x_i$s adalah 0 kecuali untuk satu 2.

Di bawah distribusi ini, $f_i$ adalah 0 atau $1/\sqrt n$. Membiarkan$Y=\sum y_i$. Sejak$E[ Y|A]=\sqrt n$, dan $E[Y|B]=1/\sqrt n$, dalam kedua peristiwa itu terlalu jauh dari 1; oleh karena itu, kemungkinan ada satu positif$b_i$ menghilang.