Penyelesaian wrt ideal yang dihasilkan oleh bagian dari sistem parameter biasa

Question

Membiarkan $R$ menjadi a $d$-dimensi biasa lokal Noetherian $k$-algbera ($k$ bidang apapun dari char ($k$) = 0, $d \geq$2). Membiarkan$x, y$ menjadi bagian dari sistem parameter reguler untuk $R$. Membiarkan$I = (x, y)$ menjadi ideal yang dihasilkan oleh $x$ dan $y$ dan $\hat{R}$ menunjukkan penyelesaian $R$ dengan hormat $I$.

Benarkah itu $\hat{R} = \frac{R}{I}[[x, y]]$?

Saya tahu kasus yang sangat khusus itu benar ketika $d = 2$ dan $I$adalah cita-cita maksimal. Pernyataan di atas sepertinya benar tetapi saya tidak sepenuhnya yakin. Bantuan apa pun akan sangat bagus.

Answer 1

Anggap saja itu $R$ pada dasarnya adalah tipe yang terbatas $k$. Kemudian$\hat{R}$ berisi subring yang memetakan secara isomorfis ke $R/I$.

Bukti: Perhatikan itu $R/I$ biasa dan pada dasarnya dari tipe terbatas berakhir $k$. Oleh karena itu$0$-mengurangi $k$(Matsumura, Teori Cincin Komutatif , Teorema 30.3). Oleh karena itu, kami dapat mengangkat peta identitas$R/I$ ke a $k$-peta aljabar $f_2 : R/I \to R/I^2$. Mengulangi argumen, kita mendapatkan a$k$-peta aljabar $f_j : R/I \to R/I^j$ pengangkatan $f_{j-1}$, untuk setiap $j \geq 3$. Jadi kami mendapatkan peta$R/I \to \hat{R}$ sedemikian rupa sehingga komposit $R/I \to \hat{R} \to R/I = \hat{R}/I\hat{R}$ adalah peta identitas $R/I$.

---

Jawaban yang lebih lama, tinggalkan di sini agar komentar di bawah ini masuk akal.

$\hat{R}$ adalah sebuah flat $R$-module (Matsumura, Teori Cincin Komutatif , Teorema 8.8) tetapi$\frac{R}{I}[[x,y]]$ tidak, karena setiap elemen bukan nol dari $I$ adalah pembagi nol di atasnya.