Perbedaan antara $\forall n\in\mathbb N$ dan $\bigcap_{i = 1}^{\infty}$

Question

Benar-benar bingung tentang perbedaan antara $\forall n\in\mathbb N$ dan $\bigcap_{i=1}^\infty$.

Dalam Memahami Analisis, saya mengutip dari Latihan 1.2.13. bahwa

Sangat menggoda untuk menarik induksi untuk menyimpulkan $(\bigcup_{i = 1}^\infty A_i)^c = \bigcap_{i=1}^\infty A_i^c$.

tetapi induksi tidak berlaku di sini. Induksi digunakan untuk membuktikan bahwa pernyataan tertentu berlaku untuk setiap nilai$n\in\mathbb N$, tetapi ini tidak menyiratkan validitas kasus tak terbatas.

Telah melakukan beberapa penelitian tentang hal itu untuk sementara waktu dan memahami bahwa akhirnya fakta yang dapat saya tunjukkan a $n\in\mathbb N$ maksudnya $n$terbatas. Karenanya, itu tidak dapat diterapkan pada kasus tak terbatas.

Ya, saya mengerti alasannya. Tapi jika$\forall n \in\mathbb N$ tidak berfungsi, lalu apa yang berfungsi untuk membuktikan kasus tak terbatas?

Sama seperti saya merasa nyaman tentang perbedaannya. Kebingungan ini kembali dikemukakan oleh buku tersebut dan saya mengutip berikut ini, dengan harapan dapat membuatnya sesingkat mungkin:

Properti interval bersarang mengasumsikan bahwa masing-masing $I_n$ mengandung $I_{n+1}$. Mereka adalah urutan interval tertutup yang ditentukan seperti itu.$I_n = [a_n, b_n] = \{x\in\mathbb R : a_n\leq x \leq b_n\}$.

Pembuktiannya berfokus pada menemukan satu bilangan real x yang dimiliki semua $I_n$ dan berpendapat itu adalah supA.

Buktinya, katanya $x\in I_n$, untuk setiap pilihan $n\in\mathbb N$. Karenanya,$x\in \bigcap_{n=1}^\infty I_n$ dan persimpangan tersebut tidak kosong.

Beri tahu saya jika detail yang terlewat diperlukan. Namun, maksud saya hanya itu:

1. Mengapa dalam aturan de morgan yang tak terbatas $\forall n\in\mathbb N$ tidak berlaku untuk $\infty$
2. Mengapa di properti interval bersarang $\forall n\in\mathbb N$ berlaku untuk $\infty$

Answer 1

$\forall n\in\Bbb N$ tidak pernah berlaku untuk$\infty$, karena $\infty$ bukan merupakan elemen dari $\Bbb N$. Dalam teorema interval bersarang tidak ada $I_\infty$. Yang kami tahu adalah itu$x\in I_n$ untuk setiap $n\in\Bbb N$, dan oleh karena itu menurut definisi $n$ berada di persimpangan set $I_n$. Anda bisa menyebut persimpangan ini$I_\infty$ jika Anda ingin melakukannya, tetapi itu akan menjadi pilihan sewenang-wenang yang sama sekali tidak bergantung pada argumen induksi yang melibatkan set $I_n$; Anda bisa menyebutnya George. (Bertahun-tahun yang lalu seorang teman saya benar-benar menerbitkan makalah tentang objek matematika yang dia beri nama George.)

Adapun hukum De Morgan, seseorang membuktikannya untuk kumpulan kumpulan yang sewenang-wenang hanya dengan menunjukkan bahwa setiap sisi identitas yang diusulkan adalah bagian dari yang lain. Ini dilakukan untuk kumpulan kumpulan yang diindeks sewenang-wenang di sini dan dalam jawaban ini (dan mungkin tempat lain di MSE juga). Pembuktiannya tidak bergantung pada teorema untuk kumpulan himpunan yang terbatas dan tidak melibatkan induksi apa pun.

Answer 2

Aturan De Morgan kebetulan berlaku untuk set yang tak terbatas. Tetapi ini tidak dapat dibuktikan dengan memasukkan versi terbatas dari Aturan De Morgan, karena induksi adalah alat untuk membuktikan bahwa pernyataan itu benar untuk nilai yang sangat besar.$n$ (tapi $n$ masih terbatas).

Adapun perpotongan dari himpunan yang jumlahnya tak terhingga jumlahnya, ini mengikuti dari definisi. Kami mengatakan itu$x \in \bigcap_{n=1}^\infty I_n$ iff $x \in I_n$ untuk semua $n \in \mathbb N$.