Perbedaan perbedaan dengan nilai batas

Question

Membiarkan $f:[0,1] \to \mathbb{R}$ menjadi dua kali fungsi yang dapat dibedakan $(0,1)$ seperti yang $f(0)=f(1)=0$ dan $f''+2f'+f \ge 0$

Kemudian nilai manakah dari berikut ini yang tidak dapat dicapai $f$ ?

$(a)\quad \pi$

$(b) \quad e$

$(c) \quad e^{\pi}$

$(d) \quad {\pi}^e$

Pikiran pertama saya adalah mengambil persamaan dengan nol.

Kemudian $f(x)=(a+bx)e^{-x}$ whefe $a,b$ adalah konstanta arbiter

Dengan nilai batas, kita punya $a=0=b$ begitu $f=0$. Jadi tidak ada kesimpulan

Sekali lagi mengambil persamaan diferensial

$f''+2f'+f=e^{\pi x}$

Kami memiliki solusi umum sebagai

$f(x)=(a+bx)e^{-x}+\frac{e^{\pi x } }{(\pi+1)^2}$

Dengan nilai batas

$a=-\frac 1{(\pi+1)^2}$ dan $b=\frac{e^{\pi+1}}{(\pi+1)^2}+ \frac 1{(\pi+1)^2} $

Tapi apa yang bisa disimpulkan dari ini?

Saya benar-benar bingung karena saya baru mengenal jenis masalah ini.

Tolong bantu saya memecahkan pertanyaan ini. Terima kasih atas waktunya.

Answer 1

Mempertimbangkan $g(x)=e^xf(x)$. Kemudian$g(0)=g(1)=0$ dan $g''(x)=e^x(f''(x)+2f'(x)+f(x))\ge 0$. Artinya itu$g$adalah fungsi cembung. Sekarang ingat bagaimana garis potong terletak relatif terhadap fungsi cembung untuk menyimpulkannya$g(x)\le 0$ dan dengan demikian juga $f(x)\le 0$ untuk $x\in[0,1]$.